Rugownik i wyróżnik

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Algebry.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2387 razy
Pomógł: 643 razy

Rugownik i wyróżnik

Post autor: mol_ksiazkowy » 16 wrz 2009, o 21:58

Definicja
Niech \(\displaystyle{ f, g}\) :
\(\displaystyle{ f(x)=a_nx^n+....+a_1x+a_0}\)
\(\displaystyle{ g(x)=b_mx^m+....+b_1x+b_0}\)
\(\displaystyle{ a_n \neq 0, \ a_m \neq 0}\)

Definiuje się wyznacznik \(\displaystyle{ R(f,g)}\), który zwie się rugownikiem. Ogólnie jest on stopnia \(\displaystyle{ n+m}\). Jego pierwsze \(\displaystyle{ m}\) wierszy tworzą liczby \(\displaystyle{ a_j}\), które kolejno "przesuwają sie" z lewa na prawo. Następne jego \(\displaystyle{ n}\) wierszy tworzą liczby \(\displaystyle{ b_j}\), które też kolejno "przesuwają sie" z lewa na prawo. "Puste miejsca" wypełnia sie zerami.
Uwaga: Zakładamy, ze liczby \(\displaystyle{ a_j}\) i \(\displaystyle{ b_j}\) są to liczby rzeczywiste.

Przykład dla \(\displaystyle{ n=3, \ m=2}\)
\(\displaystyle{ R(f,g)=\left|\begin{array}{ccccc}a_3&a_2&a_1&a_0&0\\0&a_3&a_2&a_1&a_0\\b_2&b_1&b_0&0&0\\0&b_2&b_1&b_0&0\\ 0&0&b_2&b_1&b_0\end{array}\right|}\)
gdy
\(\displaystyle{ f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0}\)
\(\displaystyle{ g(x)=b_2x^2+b_1x+b_0}\)


Twierdzenie
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, by \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) miały wspólny pierwiastek jest by
\(\displaystyle{ R(f, g)=0}\)


Definicja
Jeśli mamy wielomian \(\displaystyle{ f(x)=a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0}\), i \(\displaystyle{ a_n \neq 0}\), to jego wyróżnikiem jest liczba \(\displaystyle{ D(f)= \frac{1}{a_n} (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} R(f, f^{\prime})}\)

Można wykazać, że gdy \(\displaystyle{ f(x)=a_n(x-x_1)...(x-x_n)}\) to
\(\displaystyle{ D(f)= a_n^{2n-2} \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_i-x_j)^2}\)
Jeśli \(\displaystyle{ f}\) ma \(\displaystyle{ p}\) par pierwiatków zepolonych sprzęzonych , to \(\displaystyle{ sgn(D(f))= (-1)^p}\) o ile \(\displaystyle{ D(f) \neq 0}\)


Twierdzenie
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby \(\displaystyle{ f}\) posiadał pierwiastek wielokrotny jest by \(\displaystyle{ D(f)=0}\)


Przykład
Niech \(\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c}\), \(\displaystyle{ a \neq 0}\) to \(\displaystyle{ D(f)=\frac{1}{a}(-1)^1 \left|\begin{array}{cccc}a&b&c\\2a&b&0\\0&2a&b\end{array}\right| =b^2-4ac}\)
tj po prostu \(\displaystyle{ \Delta}\) Delta !


Przykład
Niech \(\displaystyle{ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\), \(\displaystyle{ a \neq 0}\), to \(\displaystyle{ D(f)= -27a^2d^2 +b^2c^2 -4b^3d -4ac^3+18abcd}\)
w szczególnosci gdy
\(\displaystyle{ f(x)=x^3+px+q}\), to \(\displaystyle{ D(f)=-108(\frac{q^2}{4}+ \frac{p^3}{27})}\)

ODPOWIEDZ