Grupy wolne abelowe

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Algebry.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9254
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2011 razy

Grupy wolne abelowe

Post autor: Dasio11 » 23 maja 2020, o 22:04

W artykule korzystamy z notacji addytywnej dla grup abelowych. O ile więc dla dowolnej grupy \(\displaystyle{ G}\) zapis \(\displaystyle{ a^k}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in G, k \in \ZZ}\), oznacza \(\displaystyle{ k}\)-tą potęgę elementu \(\displaystyle{ a}\) (definiowaną w standardowy sposób), o tyle w przypadku grup przemiennych będziemy w zamian pisać \(\displaystyle{ k \cdot a}\). Oczywiście prawdziwe są wszystkie naturalne tożsamości, takie jak \(\displaystyle{ (k+\ell) \cdot a = k \cdot a + \ell \cdot a}\), \(\displaystyle{ (k \cdot \ell) \cdot a = k \cdot (\ell \cdot a)}\) itd. Wyrażenie postaci \(\displaystyle{ k_1 \cdot a_1 + k_2 \cdot a_2 + \ldots + k_n \cdot a_n}\), gdzie \(\displaystyle{ k_1, \ldots, k_n \in \ZZ, a_1, \ldots, a_n \in G}\), nazywamy kombinacją całkowitą elementów \(\displaystyle{ a_1, \ldots, a_n}\) (w analogii do kombinacji liniowej wektorów znanej z algebry liniowej).



Wstęp

Intuicja dotycząca wolnych grup abelowych zaczyna się od grupy abelowej \(\displaystyle{ (\ZZ^2, \oplus)}\), gdzie \(\displaystyle{ \oplus}\) oznacza dodawanie po osiach, tj. \(\displaystyle{ (x_1, y_1) \oplus (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2)}\). W dalszej części symbol \(\displaystyle{ \oplus}\) będziemy oznaczać przez \(\displaystyle{ +}\), tak samo jak zwyczajne dodawanie, gdyż nie prowadzi to do niejednoznaczności. Jak nietrudno zauważyć, zbiór \(\displaystyle{ \{ \delta_x, \delta_y \}}\) złożonych z dwóch elementów: \(\displaystyle{ \delta_x = (1, 0)}\) i \(\displaystyle{ \delta_y = (0, 1)}\) - jest zbiorem generatorów grupy \(\displaystyle{ \ZZ^2}\). Każdy bowiem element \(\displaystyle{ (a, b) \in \ZZ^2}\) można przedstawić w postaci kombinacji \(\displaystyle{ (a, b) = k \cdot \delta_x + \ell \cdot \delta_y}\) dla pewnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ k, \ell \in \ZZ}\), mianowicie \(\displaystyle{ k = a, \ell = b}\).

Zauważmy, że powyższe przedstawienie jest jednoznaczne, co oznacza, że dla dowolnego \(\displaystyle{ (a, b) \in \ZZ^2}\) równość \(\displaystyle{ (a, b) = k \cdot \delta_x + \ell \cdot \delta_y}\) zachodzi dla dokładnie jednej pary liczb całkowitych \(\displaystyle{ (k, \ell)}\). Mamy bowiem \(\displaystyle{ k \cdot \delta_x + \ell \cdot \delta_y = (k, \ell)}\), powyższa równość może więc zachodzić tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ (k, \ell) = (a, b)}\). Oczywiście opisana tu jednoznaczność przedstawienia nie jest własnością każdego zbioru generatorów w dowolnej grupie abelowej - na przykład w grupie cyklicznej \(\displaystyle{ (\ZZ_7, +_5)}\) zbiór \(\displaystyle{ \{ 1 \}}\) jest generujący, ale element \(\displaystyle{ 5}\) ma wiele różnych przedstawień w postaci kombinacji jedynki, na przykład \(\displaystyle{ 5 = 5 \cdot 1 = 12 \cdot 1 = (-2) \cdot 1}\). Dlatego zbiór \(\displaystyle{ \{ \delta_x, \delta_y \} \subseteq \ZZ^2}\) mający tę szczególną własność jednoznaczności przedstawienia nazywany jest bazą grupy \(\displaystyle{ \ZZ^2}\), sama zaś grupa - wolną grupą abelową.

Podobna sytuacja zachodzi dla grup abelowych \(\displaystyle{ (\ZZ^n, +)}\), \(\displaystyle{ n \in \NN}\). Zbiór \(\displaystyle{ \{ \delta_1, \ldots, \delta_n \} \subseteq \ZZ^n}\), gdzie \(\displaystyle{ \delta_1 = (1, 0, 0, \ldots, 0)}\), \(\displaystyle{ \delta_2 = (0, 1, 0, \ldots, 0)}\), \(\displaystyle{ \ldots}\), \(\displaystyle{ \delta_n = (0, 0, 0, \ldots, 1)}\), nie tylko generuje \(\displaystyle{ \ZZ^n}\), lecz co więcej każdy element \(\displaystyle{ \ZZ^n}\) ma dokładnie jedno przedstawienie w postaci kombinacji całkowitej elementów \(\displaystyle{ \delta_1, \ldots, \delta_n}\).


Jednoznaczność przedstawienia

Zanim przejdziemy do dalszej części artykułu, uściślijmy nieco pojęcie jednoznaczności przedstawienia. Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie dowolną grupą abelową a \(\displaystyle{ B \subseteq G}\) dowolnym podzbiorem, możliwe że nieskończonym. Kombinacją całkowitą elementów \(\displaystyle{ B}\) nazywamy wyrażenie postaci

\(\displaystyle{ \sum_{b \in B} k(b) \cdot b}\),

gdzie \(\displaystyle{ k(b), b \in B}\) są liczbami całkowitymi, z których tylko skończenie wiele jest niezerowych. Liczby \(\displaystyle{ k(b)}\) nazywamy współczynnikami kombinacji. Powyższa suma ma sens, gdyż równa jest swojej (skończonej) podsumie złożonej ze składników o niezerowych współczynnikach, lub ogólniej: dowolnej skończonej podsumie obejmującej wszystkie niezerowe składniki. Oczywiście wartością tej sumy jest pewien element grupy \(\displaystyle{ G}\).

Powiemy, że \(\displaystyle{ a \in G}\) ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji całkowitej elementów \(\displaystyle{ B}\), gdy równość

\(\displaystyle{ a = \sum_{b \in B} k(b) \cdot b}\)

zachodzi dla dokładnie jednej kolekcji współczynników \(\displaystyle{ \left< k(b) : b \in B \right>}\). Ściślej: gdy istnieje taka funkcja \(\displaystyle{ k : B \to \ZZ}\), że

(i) \(\displaystyle{ k(b) = 0}\) dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ b \in B}\),

(ii) \(\displaystyle{ a = \sum_{b \in B} k(b) \cdot b}\),

(iii) dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ \ell : B \to \ZZ}\), jeśli \(\displaystyle{ \ell(b) = 0}\) dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ b \in B}\) oraz \(\displaystyle{ a = \sum_{b \in B} \ell(b) \cdot b}\), to \(\displaystyle{ \ell = k}\).


Uogólnienie - nieskończona suma prosta liczb całkowitych

Przypomnijmy, że sumą prostą rodziny grup \(\displaystyle{ \{ G_i : i \in I \}}\) nazywamy grupę

\(\displaystyle{ \bigoplus_{i \in I} G_i := \left\{ f \in \prod_{i \in I} G_i : f(i) = \mathbf{1}_{G_i} \text{ dla prawie wszystkich } i \in I \right\}}\).

Jeśli wszystkie grupy \(\displaystyle{ G_i}\) są takie same, tj. \(\displaystyle{ G_i = G_*}\) dla pewnej ustalonej grupy \(\displaystyle{ G_*}\), to sumę prostą \(\displaystyle{ \bigoplus_{i \in I} G_i}\) oznaczamy też przez \(\displaystyle{ G_*^{\oplus I}}\).

Oczywiście grupa \(\displaystyle{ \ZZ^n}\) jest izomorficzna z sumą prostą \(\displaystyle{ \ZZ^{\oplus \{ 1, 2, \ldots, n \}}}\), jest więc uogólnieniem wcześniejszych rozważań następujące spostrzeżenie. Dla ustalonego zbioru indeksów \(\displaystyle{ I}\) rozważmy grupę \(\displaystyle{ G = \ZZ^{\oplus I}}\) i określmy elementy \(\displaystyle{ \delta_i \in G, i \in I}\) w taki sposób, że \(\displaystyle{ \delta_i(i) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ \delta_i(j) = 0}\) dla \(\displaystyle{ j \neq i}\). Analogię do wcześniej rozważanych grup \(\displaystyle{ \ZZ^n}\) ilustruje nieformalny zapis

\(\displaystyle{ \delta_i = (\ldots, 0, 0, \underset{\substack{\uparrow \\ i}}{1}, 0, 0, \ldots)}\).

Wtedy każdy element \(\displaystyle{ g \in G}\) ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji elementów \(\displaystyle{ \{ \delta_i : i \in I \}}\). Mianowicie: jeśli \(\displaystyle{ f \in G = \ZZ^{\oplus I}}\), to

\(\displaystyle{ f = \sum_{i \in I} f(i) \cdot \delta_i, \qquad}\) gdzie oczywiście \(\displaystyle{ f(i) \in \ZZ}\),

przy czym powyższa suma ma skończenie wiele niezerowych współczynników, gdyż z definicji sumy prostej mamy \(\displaystyle{ f(i) = 0}\) dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ i \in I}\).


Definicja i charakteryzacja wolnych grup abelowych

Sformułujemy teraz bez dowodu ważne twierdzenie dotyczące wolnych grup abelowych:
Twierdzenie. Rozważmy dowolną grupę abelową \(\displaystyle{ G}\) oraz jej podzbiór \(\displaystyle{ B \subseteq G}\). Następujące warunki są równoważne:
(i) Funkcja \(\displaystyle{ \varphi : \ZZ^{\oplus B} \to G}\) dana wzorem \(\displaystyle{ \varphi(f) = \sum_{b \in B} f(b) \cdot b}\) jest izomorfizmem.
(ii) Każdy element \(\displaystyle{ a \in G}\) ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji elementów \(\displaystyle{ B}\).
(iii) Dla dowolnej grupy abelowej \(\displaystyle{ H}\), każda funkcja \(\displaystyle{ \psi_0 : B \to H}\) rozszerza się do homomorfizmu \(\displaystyle{ \psi : G \to H}\) na dokładnie jeden sposób.
W sytuacji, gdy zachodzi którykolwiek z warunków (i)-(iii) (a więc pozostałe także), mówimy że \(\displaystyle{ G}\) jest wolną grupą abelową o bazie \(\displaystyle{ B}\).

Warto zwrócić uwagę na podobieństwo sformułowanych wyżej warunków do własności powszechnie spotykanych w algebrze liniowej. Mianowicie: jeśli \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) (na przykład \(\displaystyle{ K = \RR}\)), to ma swoją bazę \(\displaystyle{ B \subseteq V}\). Podczas gdy wyrażone w języku grup abelowych warunki (i)-(iii) stanowią definicję grupy wolnej abelowej, w algebrze liniowej ich odpowiedniki są już twierdzeniami:
Twierdzenie.
(i') Funkcja \(\displaystyle{ \varphi : K^{\oplus B} \to V}\) dana wzorem \(\displaystyle{ \varphi(f) = \sum_{b \in B} f(b) \cdot b}\) jest izomorfizmem przestrzeni liniowych.
(ii') Każdy element \(\displaystyle{ v \in V}\) ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji liniowej elementów \(\displaystyle{ B}\).
(iii') Dla dowolnej przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ W}\), każda funkcja \(\displaystyle{ \psi_0 : B \to W}\) rozszerza się do odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ \psi : V \to W}\) na dokładnie jeden sposób.
Odnotujmy teraz następujące konsekwencje definicji wolnej grupy abelowej:

1. Jeśli \(\displaystyle{ I}\) jest dowolnym zbiorem indeksów, to \(\displaystyle{ \ZZ^{\oplus I}}\) jest wolną grupą abelową o bazie \(\displaystyle{ \Delta = \{ \delta_i : i \in I \}}\). Wracając do naszego początkowego przykładu, grupa \(\displaystyle{ \ZZ^2}\) jest wolną grupą abelową o bazie \(\displaystyle{ \{ (1, 0), (0, 1) \}}\). Podobne stwierdzenie zachodzi dla każdej grupy postaci \(\displaystyle{ \ZZ^n}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\), w tym oczywiście dla zwykłych liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ = \ZZ^1}\), a nawet dla grupy trywialnej \(\displaystyle{ \ZZ^0 = \{ e \}}\), której bazą jest zbiór pusty.

2. Każda grupa izomorficzna z grupą postaci \(\displaystyle{ \ZZ^{\oplus I}}\) jest wolną grupą abelową. Jeśli bowiem \(\displaystyle{ \varphi : \ZZ^{\oplus I} \to G}\) jest takim izomorfizmem, to nietrudno sprawdzić, że zbiór \(\displaystyle{ B = \varphi[ \Delta ]}\) spełnia warunek (ii) z przytoczonego twierdzenia.

3. Grupy postaci \(\displaystyle{ \ZZ^{\oplus I}}\) to jedyne - z dokładnością do izomorfizmu - wolne grupy abelowe, co wynika wprost z warunku (i).

Łącznie otrzymaliśmy zatem kompletną charakteryzację wolnych grup abelowych.

ODPOWIEDZ