Znajdowanie macierzy odwrotnej metodą przekształceń elementarnych

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Algebry.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5150
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1132 razy

Znajdowanie macierzy odwrotnej metodą przekształceń elementarnych

Post autor: janusz47 » 27 paź 2019, o 13:41

Twierdzenie

Macierz \(\displaystyle{ A }\) jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy macierz \(\displaystyle{ [A | I ] }\) po sprowadzeniu do zredukowanej postaci schodkowej ma postać \(\displaystyle{ [I | B]. }\)

Dowód tego twierdzenia można znaleźć na przykład w książce Tadeusza Koźniewskiego Wykłady z Algebry Liniowej. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego Warszawa 2004.

Korzystając z tego twierdzenia, znajdziemy macierz odwrotną macierzy

\(\displaystyle{ A = \left[\begin{matrix} 1 & 1 & -3\\ 2 & 3 & -5 \\ -1 & 2 & 7 \end{matrix} \right]. }\)

Tworzymy macierz rozszerzoną

\(\displaystyle{ [A | I ] = \left[\begin{matrix} 1 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -5& 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 7& 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] }\)

Stosujemy przekształcenia elementarne na wierszach macierzy.

\(\displaystyle{ w2 +w1\cdot(-2) }\)

\(\displaystyle{ w3 + w1 }\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1& -2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 4& 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ w3 + w2\cdot (-3) }\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1& -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1& 7 & -3 & 1 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ w2 + w3\cdot (-1) }\)

\(\displaystyle{ w1 + w3 \cdot (3) }\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 22 & -9 & 3 \\ 0 & 1 & 0& -9 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 1& 7 & -3 & 1 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ w1 + w2\cdot (-1) }\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 31 & -13 & 4\\ 0 & 1 & 0& -9 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 1& 7 & -3 & 1 \end{matrix} \right] }\)


Macierz

\(\displaystyle{ B = A^{-1} = \left[\begin{matrix} 31 & -13 & 4 \\ -9 & 4 & -1\\ 7 & -3 & 1 \end{matrix} \right] }\)

jest macierzą odwrotną macierzy \(\displaystyle{ A, }\) co możemy sprawdzić bezpośrednim rachunkiem

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 1 & -3\\ 2 & 3 & -5 \\ -1 & 2 & 7 \end{matrix} \right]\cdot \left[\begin{matrix} 31 & -13 & 4 \\ -9 & 4 & -1\\ 7 & -3 & 1 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]. }\)

ODPOWIEDZ