Sinus 18st. , wersja algebraiczna

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Funkcji.
frej

Sinus 18st. , wersja algebraiczna

Post autor: frej » 23 sie 2008, o 13:49

Wykorzystamy tutaj następujące fakty:
\(\displaystyle{ \sin {2x}=2\sin {x}\cos {x}}\)
\(\displaystyle{ \cos {2x}=1-2\sin ^2{x}}\)
\(\displaystyle{ \cos {(x+y)}=\cos {x} \cos {y}-\sin {x} \sin {y}}\)
\(\displaystyle{ \sin {x}=\cos {(90^{\circ}-x)}}\)
\(\displaystyle{ \sin {18^{\circ}}, \cos {18^{\circ}} \in (0,1)}\) ( to oczywiście widać na wykresie ) .

Z wzoru redukcyjnego mamy:
\(\displaystyle{ \sin {36^{\circ}}=\cos {54^{\circ}}=\cos {(18^{\circ}+36^{\circ})}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin {18^{\circ}} \cos {18^{\circ}}=\cos {18^{\circ}} \cos {36^{\circ}} -\sin {18^{\circ}} \sin {36^{\circ}}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin {18^{\circ}} \cos {18^{\circ}}=\cos {18^{\circ}} (1-2\sin ^2{18^{\circ}})-\sin {18^{\circ}} \cdot 2\sin {18^{\circ}} \cos {18^{\circ}} \quad | : \cos {18^{\circ}} ( \neq 0)}\)
\(\displaystyle{ 2\sin {18^{\circ}}=1-2\sin ^2{18^{\circ}} -2\sin ^2{18^{\circ}}}\)
\(\displaystyle{ 4\sin ^2{18^{\circ}} +2\sin {18^{\circ}}-1=0}\)
podstawmy \(\displaystyle{ \sin {18^{\circ}}=t \in (0,1)}\)
\(\displaystyle{ 4t^2+2t-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=2^2-4(-1)\cdot 4=20 \quad , \sqrt{\Delta}=2\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ t_1=\frac{-2-2\sqrt{5}}{8} \not \in (0,1) \qquad t_2=\frac{-2+2\sqrt{5}}{8}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \in (0,1)}\)

Otrzymujemy zatem
\(\displaystyle{ \sin {18^{\circ}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}}\).

ODPOWIEDZ