Funkcja okresowa

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Funkcji.
Awatar użytkownika
bolo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

Funkcja okresowa

Post autor: bolo » 13 kwie 2007, o 17:31

Funkcja okresowa
Funkcję \(\displaystyle{ f:\mathbb{D}\rightarrow\mathbb{R}}\) gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{D}\subset\mathbb{R}}\) nazywamy funkcją okresową, jeżeli istnieje takie \(\displaystyle{ T\neq 0,}\) \(\displaystyle{ T\in\mathbb{R}}\), że:
  1. jeśli \(\displaystyle{ x\in\mathbb{D}}\), to \(\displaystyle{ x+T,x-T\in\mathbb{D}}\)
  2. \(\displaystyle{ \bigwedge_{x\in\mathbb{D}}f(x+T)=f(x),}\)
wtedy każda liczba \(\displaystyle{ T}\) o powyższej własności nazywa się okresem \(\displaystyle{ T}\). Jeżeli wśród wszystkich okresów dodatnich danej funkcji okresowej istnieje najmniejszy, to nazywamy go podstawowym. Jeżeli brak najmniejszego okresu, to funkcję nazywamy mikrookresową.

Twierdzenie

Jeżeli okresy \(\displaystyle{ T_{f}}\) i \(\displaystyle{ T_{g}}\) są współmierne, tzn. istnieją takie liczby naturalne \(\displaystyle{ m,n}\), że:
\(\displaystyle{ \frac{T_{f}}{T_{g}}=\frac{m}{n},}\)
to suma oraz iloczyn funkcji okresowych \(\displaystyle{ f, g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}\) o okresach podstawowych \(\displaystyle{ T_{f}}\) i \(\displaystyle{ T_{g}}\) są funkcjami okresowymi.
Dowód:

\(\displaystyle{ T_{f}n=T_{g}m=T}\)
  1. \(\displaystyle{ h=f+g}\)
    \(\displaystyle{ h(x+T)=\\=f(x+T)+g(x+T)=\\=f(x+T_{f}n)+g(x+T_{g}m)=\\=f(x+T_{f})+g(x+T_{g})=\\=f(x)+g(x)}\)
  2. \(\displaystyle{ h=fg}\)
    \(\displaystyle{ h(x+T)=\\=f(x+T)g(x+T)=\\=f(x+T_{f}n)g(x+T_{g}m)=\\=f(x+T_{f})g(x+T_{g})=\\=f(x)g(x)}\)
\(\displaystyle{ \blacksquare}\)

Zablokowany