Logarytmy - definicje i własności
: 12 lut 2005, o 19:14
LOGARYTMY
Definicje i własności Logarytmem dodatniej liczby b przy podstawie a jest wykładnik potęgi c, do której należy podnieść a, aby otrzymać b, co zapisujemy następująco:
\(\displaystyle{ \large \log_{a}b=c \Leftrightarrow a^{c}=b}\)
Gdzie a - podstawa logarytmu, b - liczba logarytmowana, c - wynik logarytmowania.
Przy czym, spełnione muszą być warunki \(\displaystyle{ a \in R^{+} - \{ 1 \} \text{ i } b \in R^{+}}\).
Ponadto \(\displaystyle{ \large \log_{a}1=0, \ \log_{a}a=1, \ a^{\log_{a}b}=b}\).
Wyróżniamy też dwa szczególne logarytmy:
Logarytm dziesiętny, to logarytm o podstawie 10. \(\displaystyle{ \log b=c \Leftrightarrow 10^{c}=b}\)
Logarytm naturalny, to logarytm o podstawie e. \(\displaystyle{ \ln b=c \Leftrightarrow e^{c}=b}\)
(Liczba e jest granicą ciągu nieskończonego \(\displaystyle{ (1+\frac{1}{n})^{n}}\), gdy n dąży do nieskończoności i e \(\displaystyle{ \approx}\) 2,72.)
Prawa działań na logarytmach
Założenia dla podstaw logarytmów i liczb logarytmowanych są analogiczne z tymi u góry. Warunki dla nowych stałych zostaną przedstawione w każdym z przypadków z osobna.
\(\displaystyle{ \large \log_{a}(b_{1}\cdot b_{2})=\log_{a}b_{1}+\log_{a}b_{2}}\) - logarytm iloczynu
\(\displaystyle{ \large \log_{a}\frac{b_{1}}{b_{2}} = \log_{a}b_{1}-\log_{a}b_{2}}\) - logarytm ilorazu
\(\displaystyle{ \large \log_{a}b^{m}=m\cdot \log_{a}b, \ m \in \mathbb{R}}\) - logarytm potęgi
\(\displaystyle{ \large \log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_c{a}} \\ \phantom{MMMMM} ^{\nwarrow}_{\swarrow} \mbox{ zmiana podstawy logarytmu}}\)
\(\displaystyle{ \large \log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}, \ a, b \in (0, 1) \cup (1, +\infty)}\)
Z ostatnich własności wynika również wzór:
\(\displaystyle{ \log_{a} b \cdot \log_{c} d = \log_{a} d \cdot \log_{c} b}\)