Równanie kwadratowe
Równanie kwadratowe to równanie algebraiczne w postaci \(\displaystyle{ ax ^{2}+bx+c=0}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są danymi liczbami rzeczywistymi, przy czym \(\displaystyle{ a \neq 0.}\)
Rozwiążemy równanie kwadratowe w najbardziej ogólnej postaci:
\(\displaystyle{ ax ^{2}+bx+c=0}\)
\(\displaystyle{ (ax) ^{2}+abx +ac=0}\)
\(\displaystyle{ (2ax) ^{2}+2 \cdot 2abx +4ac=0}\)
\(\displaystyle{ (2ax) ^{2}+ 2 \cdot 2ax \cdot b+4ac+b ^{2} =b ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (2ax) ^{2}+ 2 \cdot 2ax \cdot b+b ^{2} =b ^{2} -4ac}\)
\(\displaystyle{ (2ax+b) ^{2}=b ^{2} -4ac}\)
Po prawej stronie równania znajduje się wyróżnik równania kwadratowego:
\(\displaystyle{ \Delta=b ^{2} -4ac}\)
O liczbie rozwiązań równania kwadratowego decyduje wartość liczbowa powyższego wyróżnika.
1) Jedno rozwiązanie:
Jeśli \(\displaystyle{ \Delta=0}\) to równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie (mówi się czasem, że równanie kwadratowe ma wtedy dwa takie same rozwiązania lub też jedno rozwiązanie podwójne):
\(\displaystyle{ (2ax+b) ^{2} =0}\)
\(\displaystyle{ 2ax+b=0}\)
\(\displaystyle{ 2ax=-b}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{-b}{2a}}\)
2) Dwa rozwiązania:
Jeśli \(\displaystyle{ \Delta>0}\) to równanie kwadratowe ma dwa (różne) rozwiązania:
\(\displaystyle{ (2ax+b) ^{2} =\Delta}\)
\(\displaystyle{ 2ax+b= \pm \sqrt{\Delta}}\)
\(\displaystyle{ 2ax=-b \pm \sqrt{\Delta}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ x _{1}=\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}\)
\(\displaystyle{ x _{2}=\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}}\)
3) Brak rozwiązań:
Jeśli \(\displaystyle{ \Delta<0}\) to równanie kwadratowe nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Jeśli równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x _{1}, x _{2}}\) (mogą być jednakowe), to spełniają one zależności:
\(\displaystyle{ x _{1}+ x _{2}= -\frac{b}{a}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} \cdot x _{2} = \frac{c}{a}}\)
zwane wzorami Viete'a.