Strona 1 z 1
Obliczyć całkę kwadraturą
: 1 lip 2022, o 19:21
autor: max123321
Obliczyć podaną całkę złożoną kwadraturą trapezów, przyjmując \(\displaystyle{ 4}\) podprzedziały:
\(\displaystyle{ \int_{2}^{7}-2xe^{0,7x} \dd x }\)
Jak to zrobić? Niby mniej więcej wiem, jak działa ta kwadratura trapezów, że się pole pod krzywą przybliża trapezami, ale chciałbym zobaczyć jak to się liczy na tym przykładzie. Przede wszystkim jak mam wybrać te 4 podprzedziały? Czy one mają być równej długości czy dowolnie? Dlatego też proszę o pomoc.
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
: 1 lip 2022, o 20:19
autor: janusz47
Przyjmujemy jednakową długość kroku złożonej kwadratury trapezów \(\displaystyle{ h = 1,25 }\) w przedziale \(\displaystyle{ [2, 7].}\)
2,00___3,25___4.50___5,75___7,00.
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
: 1 lip 2022, o 21:11
autor: max123321
Czy ktoś inny może się wypowiedzieć jak to zrobić?
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
: 1 lip 2022, o 21:36
autor: a4karo
Ale czego jeszcze trzeba? Wzór w garść i w drogę
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
: 1 lip 2022, o 22:14
autor: Niepokonana
A tego się nie da po prostu przez części?
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
: 1 lip 2022, o 22:20
autor: max123321
a4karo pisze: ↑1 lip 2022, o 21:36
Ale czego jeszcze trzeba? Wzór w garść i w drogę
A jaki wzór? I czy te węzły mają być równoodległe?
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
: 2 lip 2022, o 07:37
autor: a4karo
Niepokonana pisze: ↑1 lip 2022, o 22:14
A tego się nie da po prostu przez części?
Czytałaś treść zadania?
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
: 2 lip 2022, o 16:03
autor: janusz47
Węzły są równoodległe.
Sumujemy pola powierzchni czterech trapezów:
\(\displaystyle{ T_{4}= P_{1}+P_{2}+P{3}+P_{4} = \frac{h}{2}\cdot \left[f(x_{0})+f(x_{1}) \right] + \frac{h}{2}\cdot \left[f(x_{1})+f(x_{2}) \right] + \frac{h}{2}\cdot \left[f(x_{2})+f(x_{3}) \right] + \frac{h}{2}\cdot \left[f(x_{3})+ f(x_{4})\right]. }\)
Dodając składniki podobne sumy:
\(\displaystyle{ T_{4} = \frac{h}{2}\cdot \left[ f(x_{0})+f(x_{4})\right] + h\cdot \left[ f(x_{1})+f(x_{2}) +f(x_{3})\right], }\)
otrzymujemy złożoną kwadraturę trapezów dla czterech węzłów.
Przybliżona wartość całki:
\(\displaystyle{ I = -\int_{2}^{7}2\cdot x\cdot e^{0,7x} \cdot dx \approx -2 \left \{\frac{1.25}{2}\cdot \left [2\cdot e^{0,7\cdot 2}+ 7\cdot e^{0,7\cdot 7}\right] + 1,25\cdot \left [3,25\cdot e^{0,7\cdot 3,25}+ 4,50\cdot e^{0,7\cdot 4,50} + 5,75\cdot e^{0,7\cdot 5,75} \right] \right\} = \ \ ...}\)
Możemy dla tej funkcji podcałkowej obliczyć dokładną wartość całki metodą całkowania przez części, ale klasa funkcji posiadających dokładną wartość funkcji pierwotnych jest mała w porównaniu z nieskończoną klasą wszystkich funkcji podcałkowych.
Dlatego powstały metody numerycznego (przybliżonego) obliczania całek (kwadratury). Jedną z tych metod jest złożona kwadratura trapezów.
Dodano po 7 godzinach 7 minutach 21 sekundach:
Obliczenie kwadratury złożonej trapezów na przykład w programie OCTAVE 7.1.0
Kod: Zaznacz cały
>> x = 2:1.25:7
x =
2.0000 3.2500 4.5000 5.7500 7.0000
>> f= -2*x./exp(0.7*x)
f =
-0.9864 -0.6682 -0.3857 -0.2054 -0.1043
>> T4 = trapz(x,f)
T4 = -2.2557
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
: 2 lip 2022, o 18:24
autor: Niepokonana
a4karo pisze: ↑2 lip 2022, o 07:37
Niepokonana pisze: ↑1 lip 2022, o 22:14
A tego się nie da po prostu przez części?
Czytałaś treść zadania?
No czytałam, ale nie prościej byłoby przez części?
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
: 2 lip 2022, o 19:02
autor: max123321
Ok to w takim razie liczę tak:
\(\displaystyle{ \int_{2}^{7}-2xe^{0,7x} \dd x \approx 1,25 \cdot ( \frac{-4e^{1,4}-14e^{4,9}}{2})+1,25 \cdot (-6,5e^{2,275}-9e^{3,15}-11,5e^{4,025}) \approx -2331,46 }\)
Czy tak jest dobrze?
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
: 2 lip 2022, o 19:56
autor: janusz47
Wynik z zastosowania funkcji wewnętrznej OCTAVE znacznie odbiega od wyniku prawdziwego. Dlaczego tego nie wiem.
Na laboratoriach Metod Numerycznych liczyłem różne całki instrukcją "trapz(x,y)" i wyniki wychodziły poprawne. Dojdę do tego.
Napisałem więc prosty program obliczania tej całki w OCTAVE:
Kod: Zaznacz cały
function trapez(f,a,b,n)
h =(b-a)/n;
S = feval(f,a);
for i = 1:n-1
x = a+h*i;
g = feval(f,x);
S = S+2*g;
end
S=S+feval(f,b);
INT=h*S/2;
fprintf('\n Całka funkcji f(x) =%16.8f\n',INT);
end
function f = f1(x)
f = -2*x*exp(0.7*x);
end
Wywołanie programu:
Kod: Zaznacz cały
>> trapez('f1',2,7,4)
Całka z funkcji f(x) = -2331.46057941
max123321
Twój wynik jest dobry.
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
: 2 lip 2022, o 20:32
autor: a4karo
Niepokonana pisze: ↑2 lip 2022, o 18:24
a4karo pisze: ↑2 lip 2022, o 07:37
Niepokonana pisze: ↑1 lip 2022, o 22:14
A tego się nie da po prostu przez części?
Czytałaś treść zadania?
No czytałam, ale nie prościej byłoby przez części?
Ja nie lubię zadań, w zadań narzuca się metod rozwiązania, ale rozumiem, że ukladacz chciał sprawdzić, czy uczeń opanował metodę numeryczną.
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
: 2 lip 2022, o 22:09
autor: janusz47
Dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = -2x \cdot e^{0,7x} }\) można znaleźć funkcję pierwotną.
Obliczmy więc wartość tej całki - metodą całkowania przez części.
\(\displaystyle{ \int_{2}^{7}-2x \cdot e^{0,7x}dx = -2\int_{2}^{7}x\cdot e^{0.7x}dx = -2\int_{2}^{7}x\cdot \left(\frac{1}{0,7}e^{0,7x}\right)' dx =}\)
\(\displaystyle{ = -\frac{2x}{0,7}e^{0,7x}|_{2}^{7} - \left( -2\int_{2}^{7}1\cdot \frac{1}{0,7}e^{0,7x}dx \right)= -\frac{2x}{0,7}e^{0,7x}|_{2}^{7} + \frac{2}{(0,7)^2}e^{0,7x}|_{2}^{7} =}\)
\(\displaystyle{ = -2e^{0,7x}\left[ \frac{10}{7}x - \frac{100}{49}\right]_{2}^{7} =- 2^{0,7\cdot 7}\left [\frac{70}{7}-\frac{100}{49}\right] + 2e^{0,7\cdot 2} \cdot \left[ \frac{20}{7} - \frac{100}{49}\right] = -2e^{4,9}\left[ \frac{390}{49}\right] +2e^{1.4}\left[ \frac{40}{49}\right] \approx -2131,05. }\)
Błąd przybliżenia złożoną kwadraturą trapezów czwartego rzędu jest duży \(\displaystyle{ \varepsilon = 200,41.}\)
Musimy zwiększyć znacznie liczbę węzłów dla tej kwadratury lub zastosować dokładniejszą kwadraturę, na przykład Simpsona (parabol).