Obliczyć całkę kwadraturą

Przybliżanie, metoda najmniejszych kwadratów, wielomiany interpolacyjne i inne.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2837
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 850 razy
Pomógł: 1 raz

Obliczyć całkę kwadraturą

Post autor: max123321 » 1 lip 2022, o 19:21

Obliczyć podaną całkę złożoną kwadraturą trapezów, przyjmując \(\displaystyle{ 4}\) podprzedziały:
\(\displaystyle{ \int_{2}^{7}-2xe^{0,7x} \dd x }\)

Jak to zrobić? Niby mniej więcej wiem, jak działa ta kwadratura trapezów, że się pole pod krzywą przybliża trapezami, ale chciałbym zobaczyć jak to się liczy na tym przykładzie. Przede wszystkim jak mam wybrać te 4 podprzedziały? Czy one mają być równej długości czy dowolnie? Dlatego też proszę o pomoc.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7249
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 1557 razy

Re: Obliczyć całkę kwadraturą

Post autor: janusz47 » 1 lip 2022, o 20:19

Przyjmujemy jednakową długość kroku złożonej kwadratury trapezów \(\displaystyle{ h = 1,25 }\) w przedziale \(\displaystyle{ [2, 7].}\)

2,00___3,25___4.50___5,75___7,00.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2837
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 850 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Obliczyć całkę kwadraturą

Post autor: max123321 » 1 lip 2022, o 21:11

Czy ktoś inny może się wypowiedzieć jak to zrobić?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20408
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 3458 razy

Re: Obliczyć całkę kwadraturą

Post autor: a4karo » 1 lip 2022, o 21:36

Ale czego jeszcze trzeba? Wzór w garść i w drogę

Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1337
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 310 razy
Pomógł: 12 razy

Re: Obliczyć całkę kwadraturą

Post autor: Niepokonana » 1 lip 2022, o 22:14

A tego się nie da po prostu przez części?

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2837
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 850 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Obliczyć całkę kwadraturą

Post autor: max123321 » 1 lip 2022, o 22:20

a4karo pisze:
1 lip 2022, o 21:36
Ale czego jeszcze trzeba? Wzór w garść i w drogę
A jaki wzór? I czy te węzły mają być równoodległe?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20408
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 3458 razy

Re: Obliczyć całkę kwadraturą

Post autor: a4karo » 2 lip 2022, o 07:37

Niepokonana pisze:
1 lip 2022, o 22:14
A tego się nie da po prostu przez części?
Czytałaś treść zadania?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7249
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 1557 razy

Re: Obliczyć całkę kwadraturą

Post autor: janusz47 » 2 lip 2022, o 08:56

Węzły są równoodległe.

Sumujemy pola powierzchni czterech trapezów:

\(\displaystyle{ T_{4}= P_{1}+P_{2}+P{3}+P_{4} = \frac{h}{2}\cdot \left[f(x_{0})+f(x_{1}) \right] + \frac{h}{2}\cdot \left[f(x_{1})+f(x_{2}) \right] + \frac{h}{2}\cdot \left[f(x_{2})+f(x_{3}) \right] + \frac{h}{2}\cdot \left[f(x_{3})+ f(x_{4})\right]. }\)

Dodając składniki podobne sumy:

\(\displaystyle{ T_{4} = \frac{h}{2}\cdot \left[ f(x_{0})+f(x_{4})\right] + h\cdot \left[ f(x_{1})+f(x_{2}) +f(x_{3})\right], }\)

otrzymujemy złożoną kwadraturę trapezów dla czterech węzłów.

Przybliżona wartość całki:

\(\displaystyle{ I = -\int_{2}^{7}2\cdot x\cdot e^{0,7x} \cdot dx \approx -2 \left \{\frac{1.25}{2}\cdot \left [2\cdot e^{0,7\cdot 2}+ 7\cdot e^{0,7\cdot 7}\right] + 1,25\cdot \left [3,25\cdot e^{0,7\cdot 3,25}+ 4,50\cdot e^{0,7\cdot 4,50} + 5,75\cdot e^{0,7\cdot 5,75} \right] \right\} = \ \ ...}\)



Możemy dla tej funkcji podcałkowej obliczyć dokładną wartość całki metodą całkowania przez części, ale klasa funkcji posiadających dokładną wartość funkcji pierwotnych jest mała w porównaniu z nieskończoną klasą wszystkich funkcji podcałkowych.

Dlatego powstały metody numerycznego (przybliżonego) obliczania całek (kwadratury). Jedną z tych metod jest złożona kwadratura trapezów.

Dodano po 7 godzinach 7 minutach 21 sekundach:

Obliczenie kwadratury złożonej trapezów na przykład w programie OCTAVE 7.1.0

Kod: Zaznacz cały

                                                                                                                                                                                             
>> x = 2:1.25:7
x =

    2.0000    3.2500    4.5000    5.7500    7.0000
    
                
>> f= -2*x./exp(0.7*x)
f =

  -0.9864  -0.6682  -0.3857  -0.2054  -0.1043

>> T4 = trapz(x,f)
T4 = -2.2557


Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1337
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 310 razy
Pomógł: 12 razy

Re: Obliczyć całkę kwadraturą

Post autor: Niepokonana » 2 lip 2022, o 18:24

a4karo pisze:
2 lip 2022, o 07:37
Niepokonana pisze:
1 lip 2022, o 22:14
A tego się nie da po prostu przez części?
Czytałaś treść zadania?
No czytałam, ale nie prościej byłoby przez części?

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2837
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 850 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Obliczyć całkę kwadraturą

Post autor: max123321 » 2 lip 2022, o 19:02

Ok to w takim razie liczę tak:
\(\displaystyle{ \int_{2}^{7}-2xe^{0,7x} \dd x \approx 1,25 \cdot ( \frac{-4e^{1,4}-14e^{4,9}}{2})+1,25 \cdot (-6,5e^{2,275}-9e^{3,15}-11,5e^{4,025}) \approx -2331,46 }\)

Czy tak jest dobrze?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7249
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 1557 razy

Re: Obliczyć całkę kwadraturą

Post autor: janusz47 » 2 lip 2022, o 19:55

Wynik z zastosowania funkcji wewnętrznej OCTAVE znacznie odbiega od wyniku prawdziwego. Dlaczego tego nie wiem.

Na laboratoriach Metod Numerycznych liczyłem różne całki instrukcją "trapz(x,y)" i wyniki wychodziły poprawne. Dojdę do tego.

Napisałem więc prosty program obliczania tej całki w OCTAVE:

Kod: Zaznacz cały

 function trapez(f,a,b,n)
h =(b-a)/n;
S = feval(f,a);
for i = 1:n-1
x = a+h*i;
g = feval(f,x);
S = S+2*g;
end
S=S+feval(f,b);
INT=h*S/2;
fprintf('\n Całka funkcji f(x) =%16.8f\n',INT);
end

function f = f1(x)
f = -2*x*exp(0.7*x);
end


Wywołanie programu:

Kod: Zaznacz cały

                                                                                                                                                                                          
>> trapez('f1',2,7,4)
Całka z funkcji f(x) =  -2331.46057941
 
Dodano po 1 minucie 31 sekundach:
max123321
Twój wynik jest dobry.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20408
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 3458 razy

Re: Obliczyć całkę kwadraturą

Post autor: a4karo » 2 lip 2022, o 20:32

Niepokonana pisze:
2 lip 2022, o 18:24
a4karo pisze:
2 lip 2022, o 07:37
Niepokonana pisze:
1 lip 2022, o 22:14
A tego się nie da po prostu przez części?
Czytałaś treść zadania?
No czytałam, ale nie prościej byłoby przez części?
Ja nie lubię zadań, w zadań narzuca się metod rozwiązania, ale rozumiem, że ukladacz chciał sprawdzić, czy uczeń opanował metodę numeryczną.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7249
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 1557 razy

Re: Obliczyć całkę kwadraturą

Post autor: janusz47 » 2 lip 2022, o 21:34

Dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = -2x \cdot e^{0,7x} }\) można znaleźć funkcję pierwotną.

Obliczmy więc wartość tej całki - metodą całkowania przez części.

\(\displaystyle{ \int_{2}^{7}-2x \cdot e^{0,7x}dx = -2\int_{2}^{7}x\cdot e^{0.7x}dx = -2\int_{2}^{7}x\cdot \left(\frac{1}{0,7}e^{0,7x}\right)' dx =}\)

\(\displaystyle{ = -\frac{2x}{0,7}e^{0,7x}|_{2}^{7} - \left( -2\int_{2}^{7}1\cdot \frac{1}{0,7}e^{0,7x}dx \right)= -\frac{2x}{0,7}e^{0,7x}|_{2}^{7} + \frac{2}{(0,7)^2}e^{0,7x}|_{2}^{7} =}\)

\(\displaystyle{ = -2e^{0,7x}\left[ \frac{10}{7}x - \frac{100}{49}\right]_{2}^{7} =- 2^{0,7\cdot 7}\left [\frac{70}{7}-\frac{100}{49}\right] + 2e^{0,7\cdot 2} \cdot \left[ \frac{20}{7} - \frac{100}{49}\right] = -2e^{4,9}\left[ \frac{390}{49}\right] +2e^{1.4}\left[ \frac{40}{49}\right] \approx -2131,05. }\)

Błąd przybliżenia złożoną kwadraturą trapezów czwartego rzędu jest duży \(\displaystyle{ \varepsilon = 200,41.}\)

Musimy zwiększyć znacznie liczbę węzłów dla tej kwadratury lub zastosować dokładniejszą kwadraturę, na przykład Simpsona (parabol).

ODPOWIEDZ