Obliczyć całkę kwadraturą
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Obliczyć całkę kwadraturą
Obliczyć podaną całkę złożoną kwadraturą trapezów, przyjmując \(\displaystyle{ 4}\) podprzedziały:
\(\displaystyle{ \int_{2}^{7}-2xe^{0,7x} \dd x }\)
Jak to zrobić? Niby mniej więcej wiem, jak działa ta kwadratura trapezów, że się pole pod krzywą przybliża trapezami, ale chciałbym zobaczyć jak to się liczy na tym przykładzie. Przede wszystkim jak mam wybrać te 4 podprzedziały? Czy one mają być równej długości czy dowolnie? Dlatego też proszę o pomoc.
\(\displaystyle{ \int_{2}^{7}-2xe^{0,7x} \dd x }\)
Jak to zrobić? Niby mniej więcej wiem, jak działa ta kwadratura trapezów, że się pole pod krzywą przybliża trapezami, ale chciałbym zobaczyć jak to się liczy na tym przykładzie. Przede wszystkim jak mam wybrać te 4 podprzedziały? Czy one mają być równej długości czy dowolnie? Dlatego też proszę o pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
Przyjmujemy jednakową długość kroku złożonej kwadratury trapezów \(\displaystyle{ h = 1,25 }\) w przedziale \(\displaystyle{ [2, 7].}\)
2,00___3,25___4.50___5,75___7,00.
2,00___3,25___4.50___5,75___7,00.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
Węzły są równoodległe.
Sumujemy pola powierzchni czterech trapezów:
\(\displaystyle{ T_{4}= P_{1}+P_{2}+P{3}+P_{4} = \frac{h}{2}\cdot \left[f(x_{0})+f(x_{1}) \right] + \frac{h}{2}\cdot \left[f(x_{1})+f(x_{2}) \right] + \frac{h}{2}\cdot \left[f(x_{2})+f(x_{3}) \right] + \frac{h}{2}\cdot \left[f(x_{3})+ f(x_{4})\right]. }\)
Dodając składniki podobne sumy:
\(\displaystyle{ T_{4} = \frac{h}{2}\cdot \left[ f(x_{0})+f(x_{4})\right] + h\cdot \left[ f(x_{1})+f(x_{2}) +f(x_{3})\right], }\)
otrzymujemy złożoną kwadraturę trapezów dla czterech węzłów.
Przybliżona wartość całki:
\(\displaystyle{ I = -\int_{2}^{7}2\cdot x\cdot e^{0,7x} \cdot dx \approx -2 \left \{\frac{1.25}{2}\cdot \left [2\cdot e^{0,7\cdot 2}+ 7\cdot e^{0,7\cdot 7}\right] + 1,25\cdot \left [3,25\cdot e^{0,7\cdot 3,25}+ 4,50\cdot e^{0,7\cdot 4,50} + 5,75\cdot e^{0,7\cdot 5,75} \right] \right\} = \ \ ...}\)
Możemy dla tej funkcji podcałkowej obliczyć dokładną wartość całki metodą całkowania przez części, ale klasa funkcji posiadających dokładną wartość funkcji pierwotnych jest mała w porównaniu z nieskończoną klasą wszystkich funkcji podcałkowych.
Dlatego powstały metody numerycznego (przybliżonego) obliczania całek (kwadratury). Jedną z tych metod jest złożona kwadratura trapezów.
Dodano po 7 godzinach 7 minutach 21 sekundach:
Obliczenie kwadratury złożonej trapezów na przykład w programie OCTAVE 7.1.0
Sumujemy pola powierzchni czterech trapezów:
\(\displaystyle{ T_{4}= P_{1}+P_{2}+P{3}+P_{4} = \frac{h}{2}\cdot \left[f(x_{0})+f(x_{1}) \right] + \frac{h}{2}\cdot \left[f(x_{1})+f(x_{2}) \right] + \frac{h}{2}\cdot \left[f(x_{2})+f(x_{3}) \right] + \frac{h}{2}\cdot \left[f(x_{3})+ f(x_{4})\right]. }\)
Dodając składniki podobne sumy:
\(\displaystyle{ T_{4} = \frac{h}{2}\cdot \left[ f(x_{0})+f(x_{4})\right] + h\cdot \left[ f(x_{1})+f(x_{2}) +f(x_{3})\right], }\)
otrzymujemy złożoną kwadraturę trapezów dla czterech węzłów.
Przybliżona wartość całki:
\(\displaystyle{ I = -\int_{2}^{7}2\cdot x\cdot e^{0,7x} \cdot dx \approx -2 \left \{\frac{1.25}{2}\cdot \left [2\cdot e^{0,7\cdot 2}+ 7\cdot e^{0,7\cdot 7}\right] + 1,25\cdot \left [3,25\cdot e^{0,7\cdot 3,25}+ 4,50\cdot e^{0,7\cdot 4,50} + 5,75\cdot e^{0,7\cdot 5,75} \right] \right\} = \ \ ...}\)
Możemy dla tej funkcji podcałkowej obliczyć dokładną wartość całki metodą całkowania przez części, ale klasa funkcji posiadających dokładną wartość funkcji pierwotnych jest mała w porównaniu z nieskończoną klasą wszystkich funkcji podcałkowych.
Dlatego powstały metody numerycznego (przybliżonego) obliczania całek (kwadratury). Jedną z tych metod jest złożona kwadratura trapezów.
Dodano po 7 godzinach 7 minutach 21 sekundach:
Obliczenie kwadratury złożonej trapezów na przykład w programie OCTAVE 7.1.0
Kod: Zaznacz cały
>> x = 2:1.25:7
x =
2.0000 3.2500 4.5000 5.7500 7.0000
>> f= -2*x./exp(0.7*x)
f =
-0.9864 -0.6682 -0.3857 -0.2054 -0.1043
>> T4 = trapz(x,f)
T4 = -2.2557
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
No czytałam, ale nie prościej byłoby przez części?
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
Ok to w takim razie liczę tak:
\(\displaystyle{ \int_{2}^{7}-2xe^{0,7x} \dd x \approx 1,25 \cdot ( \frac{-4e^{1,4}-14e^{4,9}}{2})+1,25 \cdot (-6,5e^{2,275}-9e^{3,15}-11,5e^{4,025}) \approx -2331,46 }\)
Czy tak jest dobrze?
\(\displaystyle{ \int_{2}^{7}-2xe^{0,7x} \dd x \approx 1,25 \cdot ( \frac{-4e^{1,4}-14e^{4,9}}{2})+1,25 \cdot (-6,5e^{2,275}-9e^{3,15}-11,5e^{4,025}) \approx -2331,46 }\)
Czy tak jest dobrze?
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
Wynik z zastosowania funkcji wewnętrznej OCTAVE znacznie odbiega od wyniku prawdziwego. Dlaczego tego nie wiem.
Na laboratoriach Metod Numerycznych liczyłem różne całki instrukcją "trapz(x,y)" i wyniki wychodziły poprawne. Dojdę do tego.
Napisałem więc prosty program obliczania tej całki w OCTAVE:
Wywołanie programu:
Dodano po 1 minucie 31 sekundach:
max123321
Twój wynik jest dobry.
Na laboratoriach Metod Numerycznych liczyłem różne całki instrukcją "trapz(x,y)" i wyniki wychodziły poprawne. Dojdę do tego.
Napisałem więc prosty program obliczania tej całki w OCTAVE:
Kod: Zaznacz cały
function trapez(f,a,b,n)
h =(b-a)/n;
S = feval(f,a);
for i = 1:n-1
x = a+h*i;
g = feval(f,x);
S = S+2*g;
end
S=S+feval(f,b);
INT=h*S/2;
fprintf('\n Całka funkcji f(x) =%16.8f\n',INT);
end
function f = f1(x)
f = -2*x*exp(0.7*x);
end
Wywołanie programu:
Kod: Zaznacz cały
>> trapez('f1',2,7,4)
Całka z funkcji f(x) = -2331.46057941
max123321
Twój wynik jest dobry.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
Ja nie lubię zadań, w zadań narzuca się metod rozwiązania, ale rozumiem, że ukladacz chciał sprawdzić, czy uczeń opanował metodę numeryczną.Niepokonana pisze: ↑2 lip 2022, o 18:24No czytałam, ale nie prościej byłoby przez części?
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Obliczyć całkę kwadraturą
Dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = -2x \cdot e^{0,7x} }\) można znaleźć funkcję pierwotną.
Obliczmy więc wartość tej całki - metodą całkowania przez części.
\(\displaystyle{ \int_{2}^{7}-2x \cdot e^{0,7x}dx = -2\int_{2}^{7}x\cdot e^{0.7x}dx = -2\int_{2}^{7}x\cdot \left(\frac{1}{0,7}e^{0,7x}\right)' dx =}\)
\(\displaystyle{ = -\frac{2x}{0,7}e^{0,7x}|_{2}^{7} - \left( -2\int_{2}^{7}1\cdot \frac{1}{0,7}e^{0,7x}dx \right)= -\frac{2x}{0,7}e^{0,7x}|_{2}^{7} + \frac{2}{(0,7)^2}e^{0,7x}|_{2}^{7} =}\)
\(\displaystyle{ = -2e^{0,7x}\left[ \frac{10}{7}x - \frac{100}{49}\right]_{2}^{7} =- 2^{0,7\cdot 7}\left [\frac{70}{7}-\frac{100}{49}\right] + 2e^{0,7\cdot 2} \cdot \left[ \frac{20}{7} - \frac{100}{49}\right] = -2e^{4,9}\left[ \frac{390}{49}\right] +2e^{1.4}\left[ \frac{40}{49}\right] \approx -2131,05. }\)
Błąd przybliżenia złożoną kwadraturą trapezów czwartego rzędu jest duży \(\displaystyle{ \varepsilon = 200,41.}\)
Musimy zwiększyć znacznie liczbę węzłów dla tej kwadratury lub zastosować dokładniejszą kwadraturę, na przykład Simpsona (parabol).
Obliczmy więc wartość tej całki - metodą całkowania przez części.
\(\displaystyle{ \int_{2}^{7}-2x \cdot e^{0,7x}dx = -2\int_{2}^{7}x\cdot e^{0.7x}dx = -2\int_{2}^{7}x\cdot \left(\frac{1}{0,7}e^{0,7x}\right)' dx =}\)
\(\displaystyle{ = -\frac{2x}{0,7}e^{0,7x}|_{2}^{7} - \left( -2\int_{2}^{7}1\cdot \frac{1}{0,7}e^{0,7x}dx \right)= -\frac{2x}{0,7}e^{0,7x}|_{2}^{7} + \frac{2}{(0,7)^2}e^{0,7x}|_{2}^{7} =}\)
\(\displaystyle{ = -2e^{0,7x}\left[ \frac{10}{7}x - \frac{100}{49}\right]_{2}^{7} =- 2^{0,7\cdot 7}\left [\frac{70}{7}-\frac{100}{49}\right] + 2e^{0,7\cdot 2} \cdot \left[ \frac{20}{7} - \frac{100}{49}\right] = -2e^{4,9}\left[ \frac{390}{49}\right] +2e^{1.4}\left[ \frac{40}{49}\right] \approx -2131,05. }\)
Błąd przybliżenia złożoną kwadraturą trapezów czwartego rzędu jest duży \(\displaystyle{ \varepsilon = 200,41.}\)
Musimy zwiększyć znacznie liczbę węzłów dla tej kwadratury lub zastosować dokładniejszą kwadraturę, na przykład Simpsona (parabol).