zadania z treścią

Przybliżanie, metoda najmniejszych kwadratów, wielomiany interpolacyjne i inne.
july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

zadania z treścią

Post autor: july04 »

Dzień dobry.
Mam do zrobienia zadania z treścią, w których mam zastosować pochodne. Niestety nie wiem jak do tego podejść, szczególnie, że polecenia są nie do końca na moim poziomie kompetencji. Mam nadzieję, że ktoś pomoże mi rozwiązać zadania, chociażby podpunkty a i b w zad 1.

Zad. 1) W tabeli pokazano jak od 1950 zmienił się wiek japońskich kobiet wychodzących po raz pierwszy za mąż.

\(\displaystyle{ \begin{array}{ccc}
t & A(t) & t & A(t) \\
1950 & 23,0 & 1985 & 25,5 \\
1955 & 23,8 & 1990 & 25,9 \\
1960 & 24,4 & 1995 & 26,3 \\
1965 & 24,5 & 2000 & 27,0 \\
1970 & 24,2 & 2005 & 28,0 \\
1975 & 24,7 & 2010 & 28,0\\
1980 & 25,2 & - & -\\
\end{array}}\)


Polecenia:
a) za pomocą kalkulatora graficznego lub komputera zmoduluj zmiany za pomocą wielomianu 4 stopnia (nie mam pojęcia jak tego dokonać, nie znam sie na modelowaniu).
b) korzystając z a znajdź model dla \(\displaystyle{ A'(t)}\)
c) oszacuj szybkość zmian wieku kobiet wychodzących za mąż w 1990 - to proste najpewniej granica iloraz róznicowy
d) narysować modele dla \(\displaystyle{ A }\) i \(\displaystyle{ A'}\) - narysuję.

Zad. 2)
Odnosząc się do prawa przepływu laminarnego (na ten temat wiem tyle ile znalazłem w Internecie na wiki), rozważ naczynie krwionośne o promieniu \(\displaystyle{ 0,01 cm }\), długości \(\displaystyle{ 3 cm }\), w którym różnica ciśnień wynosi \(\displaystyle{ 3000 \frac{dyn}{cm^2} }\) a lepkośc krwi \(\displaystyle{ \eta = 0,027 }\)

a) znajdź prędkość krwi wzdłuż osi \(\displaystyle{ r=0 }\), dla promienia \(\displaystyle{ r=0,005 cm }\) oraz przy ściance \(\displaystyle{ r=R=0,01 cm }\)
b) Znajdź gradient prędkości dla \(\displaystyle{ r=0 }\), \(\displaystyle{ r=0,005 }\) oraz \(\displaystyle{ r=0,01}\)
c) gdzie prędkość przepływu jest największa? Gdzie najbardziej zmienna?

Dodano po 10 godzinach 5 minutach 32 sekundach:
Omyłka w ostatnim wierszu powinno być \(\displaystyle{ 2010 ~ to ~ 28,8 }\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: zadania z treścią

Post autor: janusz47 »

Zad.1
a)
\(\displaystyle{ A(t) = a\cdot t^4 + b\cdot t^3 + c\cdot t^2+ d\cdot t + e }\)

\(\displaystyle{ A(t_{i}) = a\cdot t^4_{i} + b\cdot t^3_{i} +c\cdot t^2_{i} + d\cdot t_{i} + e, \ \ i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13. }\)

Rozwiązanie układu równań liniowych

\(\displaystyle{ \begin{cases} 23,0 = \ \ a +b +c +d +e \\ 23,8 = a\cdot 2^4 + b\cdot 2^3 + c\cdot 2^2 + d\cdot 2 + e \\ ..........................................
\\ 28,8 = a\cdot 13^4+ b\cdot 13^3+ c\cdot 13^2 + d\cdot 13 + e \end{cases} }\)


b)
Obliczenie pierwszej pochodnej wielomianu \(\displaystyle{ A(t). }\)
july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Re: zadania z treścią

Post autor: july04 »

Dziękuję serdecznie za pomoc.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: zadania z treścią

Post autor: a4karo »

Tyle że ten układ na 99.9999999999% nie ma rozwiązania.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: zadania z treścią

Post autor: janusz47 »

Zad.2
a)
Prędkość przepływu laminarnego wzdłuż naczynia krwionośnego (prawo Hagena- Poiseuille'a)
\(\displaystyle{ v(r) = \frac{ \Delta p}{4\cdot l \cdot \eta} (R^2 - r^2).}\)

b)
\(\displaystyle{ v'(r) =\ \ ... }\)

c)
\(\displaystyle{ v_{max} = \ \ ...}\)

Prędkość przepływu \(\displaystyle{ v_{max} }\) jest maksymalna wzdłuż ...
july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Re: zadania z treścią

Post autor: july04 »

a4karo pisze: 15 paź 2021, o 12:41 Tyle że ten układ na 99.9999999999% nie ma rozwiązania.
Zgodnie z poleceniem próbuję zrobić to też za pomocą emulatora kalkulatora casio, ale nie umiem go obsługiwać :) Najchętniej użyłbym phytona albo R przy czym obu uczę się od tygodnia.
Jeśli jest jakieś matematyczne rozwiązanie byłoby najlepiej.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: zadania z treścią

Post autor: a4karo »

A na wykładzie lub w podręczniku nie ma algorytmów??
july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Re: zadania z treścią

Post autor: july04 »

a4karo pisze: 15 paź 2021, o 13:09 A na wykładzie lub w podręczniku nie ma algorytmów??
Niestety nie. Dostałem tylko to zadanie nie wiem z jakiego podręcznika pochodzi. Natomiast faktycznie dobrze byłoby jak bym umiał zaprezentować rozwiązanie rachunkowo.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: zadania z treścią

Post autor: a4karo »

Myślę, że najprościej zapoznać sie z dokumentacją kalkulatora i znaleźć odpowiednią funkcję
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: zadania z treścią

Post autor: janusz47 »

Układ normalny równań dla aproksymacji liniowej


OCTAVE 6.1.0

Kod: Zaznacz cały

                                                                                                                                      
>> A = [1,1,1,1,1;2^4,2^3,2^2,2,1;3^4,3^3,3^2,3,1;4^4,4^3,4^2,4,1;5^4,5^3,5^2,5,1;6^4,6^3,6^2,6,1;7^4,7^3,7^2,7,1;8^4,8^3,8^2,8,1;
9^4,9^3,9^2,9,1;10^4,10^3,10^2,10,1;11^4,11^3,11^2,11,1;12^4,12^3,12^2,12,1;13^4,13^3,13^2,13,1]

>> C = A.^-1
C =

   1.0000e+00   1.0000e+00   1.0000e+00   1.0000e+00   1.0000e+00
   6.2500e-02   1.2500e-01   2.5000e-01   5.0000e-01   1.0000e+00
   1.2346e-02   3.7037e-02   1.1111e-01   3.3333e-01   1.0000e+00
   3.9062e-03   1.5625e-02   6.2500e-02   2.5000e-01   1.0000e+00
   1.6000e-03   8.0000e-03   4.0000e-02   2.0000e-01   1.0000e+00
   7.7160e-04   4.6296e-03

> B.= [23.0,23.8,24.4,24.5,24.2;24.7,25.2;25.5,25.9,26.3;27.0,28.0,28.8]

B =

   23.000
   23.800
   24.400
   24.500
   24.200
   24.700
   25.200
   25.500
   25.900
   26.300
   27.000
   28.000
   28.800
                                                                                                                                       
>> X = C'*B
X =

    24.970
    27.804
    36.930
    77.414
   331.300


\(\displaystyle{ A(t) = 24.970 t^4 + 27.804 t^3 + 36.930t^2 + 77.414 t + 331.300 }\)
july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Re: zadania z treścią

Post autor: july04 »

Wydaje mi się, że to chyba nie jest poprawna odpowiedź, dla roku np 1995 i każdego innego wiek rośnie do ogromnych wartości :/
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: zadania z treścią

Post autor: janusz47 »

Aproksymacja wielomianem czwartego stopnia:

Układ normalny równań:

\(\displaystyle{ \vec{X} = (A^{T}\cdot A)^{-1}\cdot A^{T}\cdot \vec{b} }\)

OCTAVE 6.4.1.

Kod: Zaznacz cały

 
                                                                                                                                        
>> A=[1,1,1,1,1;1,2,2^2,2^3,2^4;1,3,3^2,3^3,3^4;1,4,4^2,4^3,4^4;1,5,5^2,5^3,5^4;1,6,6^2,6^3,6^4;1,7,7^2,7^3,7^4;1,8,8^2,8^3,8^4;1,9,9^
2,9^3,9^4;1,10,10^2,10^3,10^4;1,11,11^2,11^3,11^4;1,12,12^2,12^3,12^4;1,13,13^2,13^3,13^4]
A =

       1       1       1       1       1
       1       2       4       8      16
       1       3       9      27      81
       1       4      16      64     256
       1       5      25     125     625
       1       6      36     216    1296
       1       7      49     343    2401
       1       8      64     512    4096
       1       9      81     729    6561
       1      10     100    1000   10000
       1      11     121    1331   14641
       1      12     144    1728   20736
       1      13     169    2197   28561
       >> b = [23.0;23.8;24.4;24.5;24.2;24.7;25.2;25.5;25.9;26.3;27.0;28.0;28.8]
b =

   23.000
   23.800
   24.400
   24.500
   24.200
   24.700
   25.200
   25.500
   25.900
   26.300
   27.000
   28.000
   28.800

>> C=(A'*A)^-1
C =

   5.6573e+00  -4.8601e+00   1.2442e+00  -1.2238e-01   4.0793e-03
  -4.8601e+00   4.6799e+00  -1.2670e+00   1.2882e-01  -4.3892e-03
   1.2442e+00  -1.2670e+00   3.5652e-01  -3.7233e-02   1.2933e-03
  -1.2238e-01   1.2882e-01  -3.7233e-02   3.9678e-03  -1.3997e-04
   4.0793e-03  -4.3892e-03   1.2933e-03  -1.3997e-04   4.9991e-06

>> D=A'*b
D =

   3.3130e+02
   2.3949e+03
   2.1985e+04
   2.2528e+05
   2.4521e+06

>> X=C*D
X =

   2.1948e+01
   1.3774e+00
  -2.8255e-01
   2.6445e-02
  -7.4986e-04
  
\(\displaystyle{ A(t) = 21,948 +1,3774t - 0,28226 t^2 + 0,02645 t^3 - 0,00075 t^4. }\)
Ostatnio zmieniony 16 paź 2021, o 11:00 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Re: zadania z treścią

Post autor: july04 »

Dziękuję Serdecznie za pomoc.
ODPOWIEDZ