Aproksymajca

Przybliżanie, metoda najmniejszych kwadratów, wielomiany interpolacyjne i inne.
Tymek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 23 sty 2021, o 11:09
Płeć: Mężczyzna

Aproksymajca

Post autor: Tymek »

Witam
Przy poszukiwaniu rozwiazania dla mojego problemu, a mianowicie znalezienia najlepszego przyblizenia danego zbioru, natknalem sie na takie o to opracowanie "Jan Pyka, Izabella Foltynowicz - Zakład Chemii Teoretycznej UAM". Jest w nim opisana aproksymacja, w niej opisana regresja funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0}\), wyglada to nastepujaco:

\(\displaystyle{
p2(x) = a_0+a_1x +a_2x^ 2 = y(x)
}\)


Funkcja \(\displaystyle{ S(a_0,a_1,a_2) dla {(x_i,y_i) [i =1,2...n]}}\) danych ma teraz postać:

\(\displaystyle{
S(a_0,a_1,a_2) = \sum_{i=1}^{n} = (y_i - a_0 -a_1x_i-a_2x_i^2)^2
}\)

a układ równań normalnych wygląda następująco:
\(\displaystyle{
\partial S(\frac{a_0,a_1,a_2}{a_0}) = 2\sum_{i=1}^{n} = (y_i - a_0 -a_1x_i-a_2x_i^2)(-1)=0
}\)

\(\displaystyle{
\partial S(\frac{a_0,a_1,a_2}{a_1}) = 2\sum_{i=1}^{n} = (y_i - a_0 -a_1x_i-a_2x_i^2)(-x_i)=0
}\)

\(\displaystyle{
\partial S(\frac{a_0,a_1,a_2}{a_2}) = 2\sum_{i=1}^{n} = (y_i - a_0 -a_1x_i-a_2x_i^2)(-x_1^2)=0
}\)


Po uporządkowaniu, otrzymamy:

\(\displaystyle{
a_0n + a_1\sum_{i=1}^{n}x_i+a_2\sum_{i=1}^{n}x_i^2 = \sum_{i=1}^{n}y_i
}\)

\(\displaystyle{
a_0\sum_{i=1}^{n}x_i+ a_1\sum_{i=1}^{n}x_i^2 + a_1\sum_{i=1}^{n}x_i^3 = \sum_{i=1}^{n}x_iy_i
}\)

\(\displaystyle{
a_0\sum_{i=1}^{n}x_i^2 + a_1\sum_{i=1}^{n}x_i^3 + a_1\sum_{i=1}^{n}x_i^4 = \sum_{i=1}^{n}x_1^2y_i
}\)


Skladam sobie z tego macierz 3x3 i dalej wsp det itd itd i finalnie wyznaczam dzieki temu wspolczynniki a i b.

Pytanie co robie zle jezeli zakladam ze funkcja ta
przechodzi przez punkt 0.0 czyli przyjmuje postac \(\displaystyle{ f(x)=a_2x^2+a_1x}\)

\(\displaystyle{
p2(x) = a_1x +a_2x^ 2 = y(x)
}\)


Funkcja \(\displaystyle{ S(a_1,a_2) dla {(x_i,y_i) [i =1,2...n]}}\) danych ma teraz postać:

\(\displaystyle{
S(a_1,a_2) = \sum_{i=1}^{n} = (y_i -a_1x_i-a_2x_i^2)^2
}\)

a układ równań normalnych wygląda następująco:

\(\displaystyle{
\partial S(\frac{a_1,a_2}{a_1}) = 2\sum_{i=1}^{n} = (y_i -a_1x_i-a_2x_i^2)(-x_i)=0
}\)

\(\displaystyle{
\partial S(\frac{a_1,a_2}{a_2}) = 2\sum_{i=1}^{n} = (y_i -a_1x_i-a_2x_i^2)(-x_i^2)=0
}\)


Po uporządkowaniu, otrzymamy:

\(\displaystyle{
a_1\sum_{i=1}^{n}x_i^2 + a_1\sum_{i=1}^{n}x_i^3 = \sum_{i=1}^{n}x_iy_i
}\)

\(\displaystyle{ a_1\sum_{i=1}^{n}x_i^3 + a_1\sum_{i=1}^{n}x_i^4 = \sum_{i=1}^{n}x_1^2y_i
}\)


W tym przypadku postepuje jw z ta roznica ze jest macierz 2x2, ale niestety wspl juz mi nie wychodza prawidlowe.
Jest ktos w stanie mi podpowiedziec ?
ODPOWIEDZ