Aproksymacja średniokwadratowa

[Iza8723]

Niech \(\displaystyle{ X=L ^{2}(\left[ -1,1\right]) }\), \(\displaystyle{ V= \Pi _{1} }\) oraz \(\displaystyle{ f(x)=-x \cdot sgn(x)+x ^{3} }\), gdzie \(\displaystyle{ sgn(x)= \begin{cases} 1, x \ge 0 \\ -1, x < 0 \end{cases} }\). W przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) określamy iloczyn skalarny
\(\displaystyle{ \left\langle f,g\right\rangle = \int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx }\), \(\displaystyle{ f,g \in X}\)
W podprzestrzeni \(\displaystyle{ V}\) znaleźć element optymalny dla \(\displaystyle{ f}\) w sensie aproksymacji średniokwadratowej.

Nie wiem jak się zachować mając tą funkcję \(\displaystyle{ sgn(x)}\).Może ktoś podpowiedzieć co zrobić po kolei

[janusz47]

Rozpatrujemy iloczyn skalarny dla dwóch przypadków odpowiadających wartościom funkcji \(\displaystyle{ sgn(x). }\)

[a4karo]

Czy wiesz czym jest przestrzeń `V`? I jak wygląda norma w Twojej przestrzeni?

[Iza8723]

Rozpatrujemy iloczyn skalarny dla dwóch przypadków odpowiadających wartościom funkcji \(\displaystyle{ sgn(x). }\)

Czyli będę mieć jedną całkę w granicy -1 do 0 , a drugą w granicy od 0 do 1 tak? I liczę je osobno ?

Dodano po 3 minutach 17 sekundach:

Czy wiesz czym jest przestrzeń `V`? I jak wygląda norma w Twojej przestrzeni?

\(\displaystyle{ V}\) to przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej 1, a norma będzie \(\displaystyle{ \left| \left| f-f^{*}\right| \right| }\) tak?