Przykład Hilberta (bazy nieortogonalne podprzestrzeni wielomianowej) i wyliczenie wskaźnika uwarunkowania

Przybliżanie, metoda najmniejszych kwadratów, wielomiany interpolacyjne i inne.
student_matematyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 3 razy

Przykład Hilberta (bazy nieortogonalne podprzestrzeni wielomianowej) i wyliczenie wskaźnika uwarunkowania

Post autor: student_matematyk »

Witam

Nie wiem czy wy ten przykład znacie więc spróbuje go tutaj krótko opisać

Niech \(\displaystyle{ X}\) to przestrzeń \(\displaystyle{ L^2([0,1])}\), podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\) to \(\displaystyle{ \pi _{n} }\).

Bazy \(\displaystyle{ V}\) niech będą \(\displaystyle{ e_{i} = x^{i}}\) dla \(\displaystyle{ i}\) od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n}\).

Iloczyn skalarny wtedy będzie równy \(\displaystyle{ \frac{1}{i+j+1}}\).

Więc macierz Grama nie będzie diagonalna, z racji tego "wyznaczenie numeryczne współczynników elementu optymalnego dla dowolnego \(\displaystyle{ f}\) z \(\displaystyle{ X}\) będzie trudne lub nawet niemożliwe", ponieważ wskaźnik uwarunkowania będzie równy mniej więcej \(\displaystyle{ 10^{n}}\).

Mnie właśnie interesuje czemu będzie równy \(\displaystyle{ 10^{n}}\) i czemu to znaczy że będzie "trudno do wyznaczenia" numerycznie patrząc?

Dziękuję!
Ostatnio zmieniony 26 gru 2020, o 22:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich symboli matematycznych. Interpunkcja.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Przykład Hilberta (bazy nieortogonalne podprzestrzeni wielomianowej) i wyliczenie wskaźnika uwarunkowania

Post autor: janusz47 »

Przykład

Dla funkcji \(\displaystyle{ f }\) szukamy \(\displaystyle{ n -}\) tego wielomianu optymalnego w sensie aproksymacji średniokwadratowej z wagą \(\displaystyle{ p(x) =1 }\) na przedziale \(\displaystyle{ [0, 1]. }\)

Jako bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ W_{n} }\) bierzemy \(\displaystyle{ \{ 1, x, x^2, ..., x^{n} \}.}\)

Układ równań normalnych ma w tym przypadku postać:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_{0}( 1, 1) + \alpha_{1}(x, 1) +...+ \alpha_{n}(x^{n}, 1) = (f, 1) \\ \alpha_{0}(1,x) + \alpha_{1}(x,x)+...+\alpha_{n}(x^{n},x)= (f, x) \\ ...............................................\\ \alpha_{0}(1,x^{n}) + \alpha_{1}(x, x^{n}) +...+ \alpha_{n}(x^{n}, x^{n})= f(x, x^{n}) \end{cases}}\)

gdzie:

iloczyn skalarny \(\displaystyle{ (x_{i}, x_{j}) = \int_{0}^{1} x^{i}\cdot x^{j} dx = \frac{1}{i+ j +1}. }\)

Macierz tego układu jest macierzą Hilberta \(\displaystyle{ \textbf H_{n+1} = \left(\frac{1}{i +j +1}\right).}\)

Już dla niewielkiego stopnia \(\displaystyle{ n }\) wskaźniki uwarunkowania macierzy Hilberta \(\displaystyle{ cond(\textbf H_{n}) = \frac{\parallel \textbf H_{n}\parallel_{2}}{\parallel \textbf H^{-1}_{n}\parallel_{2}} }\) są bardzo duże.

Przykładowo \(\displaystyle{ cond(\textbf H_{4}) = 1,55\cdot 10^4, \ \ cond(\textbf H_{6}) = 1,50\cdot 10^7, \ \ cond(\textbf H_{10}) = 1,60\cdot 10^{13}.}\)

Co to oznacza? Oznacza to, że niewielkie zaburzenia elementów macierzy układu i wetora jego prawej strony mogą przenieść się na zaburzenia rozwiązania z bardzo dużym mnożnikiem rzędu \(\displaystyle{ cond(\textbf H_{n+1}).}\)

Tym samym obliczone numerycznie rozwiązanie - \(\displaystyle{ n-}\) ty wielomian optymalny \(\displaystyle{ w^{*}_{n} = \alpha_{0} + \alpha_{1}x +...+\alpha_{n}x^{n} }\) mogą być bardzo niedokładne.
ODPOWIEDZ