Przestrzeń silnie unormowana/ściśle wypukła

[student_matematyk]

Witam

Mam pytanie co do definicji przestrzeni silnie unormowanej/ściśle wypukłej

Mówimy że gdy mamy dwa różne elementy z przestrzeni X o normie równej 1, to przestrzeń X jest silnie unormowana/ściśle wypukła gdy norma sumy tych elementów jest mniejsza od 2.

Rozumiem geometryczną interpretację przestrzeni silnie unormowanej/ściśle wypukłej (na angielskiej Wikipedii jest wytłumaczone krótko z obrazkiem), ale ciekawi mnie jednak czemu ta definicja tutaj pasuje?

Czemu nie mamy na przykład że norma sumy tych elementów ma być mniejsza od 1.5, albo od 3? Lub jakaś zupełnie inna definicja

Skąd się wzięło to "gdy norma sumy tych elementów jest mniejsza od 2" po prostu? Jak to "geometrycznie" uzasadnić?

Lub inaczej pytając: Czemu działa ta definicja?

[szw1710]

Weźmy dwa wektory jednostkowe: \(\|x\|=\|y\|=1.\) Wtedy \(\left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|<1\), co oznacza, że sfera jednostkowa nie zawiera odcinków. Po prostu kula jest okrągła. Oto interpretacja geometryczna i sens dwójki.

Zauważ, że normy maksimum oraz taksówkowa na płaszczyźnie nie są ściśle wypukłe, bo sfery jednostkowe to kwadraty. Ale nie przeszkadza im to być równoważnymi z normą euklidesową, która jest ściśle wypukła.

[student_matematyk]

Hmm. Rozumiem interpretacje geometryczną ale nie widzę dalej sensu dwójki.

Znaczy nie rozumiem czemu to że norma od połowy wektora x + y jest mniejsza 1 oznacza że sfera jednostkowa nie zawiera odcinków.

Dałoby się to jakoś na jakimś przykładzie pokazać, też porównując różne normy ze sobą (np. euklidesową i taxi)?

[szw1710]

Dopisałem powyżej.

[janusz47]

Jest to jedna z definicji przestrzeni unormowanej ściśle wypukłej.

Można na przykład wykazać , że przestrzenie \(\displaystyle{ c_{0}, \ \ C([0,1]) \ \ l_{1}, \ \ L_{1}([0,1]) }\) nie są ściśle wypukłe.

Dla każdej z wymienionych przestrzeni wystarczy podać wektory

\(\displaystyle{ \vec{x}, \vec{y} }\) takie, że \(\displaystyle{ \parallel \vec{x}\parallel = 1 = \parallel \vec{y}\parallel , \ \ \vec{x}\neq \vec{y} }\) i \(\displaystyle{ \parallel \vec{x} + \vec{y} \parallel = 2.}\)

W przypadku przestrzeni \(\displaystyle{ c_{0} }\) wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ \vec{x} = (1, 1,0, 0,...), \ \ \vec{y} = (1, -1, 0, 0,0...).}\)

Dla przestrzeni \(\displaystyle{ C([0,1]) }\) wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ x(t) = 1, \ \ y(t) = 1 -t }\) dla dowolnego \(\displaystyle{ t\in [0, 1].}\)

.....................................................................................................................


Dodano po 5 sekundach:
Można podać równoważną definicję przestrzeni unormowanej ściśle wypukłej jako przestrzeni \(\displaystyle{ ( X, \parallel \cdot \parallel _{X}) }\) takiej, że dla dwóch dowolnych wektorów \(\displaystyle{ \vec{x}, \vec{y} \in X }\) z równości \(\displaystyle{ \parallel \vec{x} +\vec{y} \parallel = \parallel \vec{x}\parallel + \parallel \vec{y}\parallel }\) wynika liniowa zależność wektorów \(\displaystyle{ \vec{x}, \ \ \vec{y}. }\)

Uwzględniając te dwie definicje przestrzeni unormowanej ściśle wypukłej, można wykazać równoważność następujących warunków:

\(\displaystyle{ w1.}\) norma \(\displaystyle{ \parallel \cdot \parallel _{X} }\) w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X }\) jest ściśle wypukła ,

\(\displaystyle{ w2. }\) sfera \(\displaystyle{ S[ \textbf 0 ,1] }\) nie zawiera odcinka różnego od punktu,

\(\displaystyle{ w3. }\) jeżeli \(\displaystyle{ \vec{x}, \vec{y} \in X }\) są takie, że \(\displaystyle{ \parallel \vec{x} +\vec{y} \parallel = \parallel \vec{x}\parallel + \parallel \vec{y}\parallel }\) to \(\displaystyle{ \vec{x} = \vec{0}}\) lub \(\displaystyle{ \vec{y} = \vec{0} }\) lub \(\displaystyle{ \vec{y} = t\vec{x} }\),dla pewnego \(\displaystyle{ t>0. }\)

[a4karo]

Dwójka w tej definicji to nie magia. Punkt `\frac{x+y} {2} ` jest środkiem odcinka. Warunek ten mówi tyle, że wnętrze każdego odcinka, którego końce leżą na powierzchni kuli, znajduje się w wnętrzu kuli. Porównaj normę euklidesowa (|na płaszczyźnie i norme `|(x, y) |=|x|+|y|`

[janusz47]

To jest trafne powiązanie dwóch definicji przestrzeni unormowanej ściśle wypukłej. Dodaj +