Reguła trójczłonowa dla wielomianów Czebyszewa

[Iza8723]

Korzystając z reguły trójczłonowej dla wielomianów Czebyszewa 1 rodzaju pokazać, że dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ x \in \left[ -1,1\right] }\) mamy
\(\displaystyle{ T_{n}(x)=(-1)^{n}T_{n}(-x)}\).

[szw1710]

Tak jest dla każdych wielomianów ortogonalnych na przedziale symetrycznym względem zera. Niech \(p_n\) będzie ciągiem wielomianów ortogonalnych na \([-1,1].\) Wtedy dla każdej funkcji całkowalnej jest \(\int_{-1}^1 f(x)dx=\int_{-1}^1 f(-x)dx\) (proste całkowanie przez podstawienie). Stąd \(\int_{-1}^1p_n(-x)q_n(-x)dx=\int_{-1}^1 p_n(x)p_m(x)dx\), więc wielomiany \(p_n(-x)\) też są ortogonalne. Ta sama uwaga dotyczy iloczyny skalarnego z funkcją wagową parzystą, a wielomiany Czebyszewa mają taką wagę.

Z drugiej strony wielomiany ortogonalne wyznaczone są jednoznacznie, jeśli je unormujemy, tzn. będą miały współczynniki wiodące jedynkowe. Załóżmy więc, że \(p_n(x)=x^n+\dots\), Ale \(p_n(-x)=(-1)^nx^n+\dots\). Po unormowaniu (mnożenie \(p_n(-x)\) przez \((-1)^n\)) musimy więc dostać wobec tej jednoznaczności, że \(p_n(x)=(-1)^np_n(-x)\) co kończy sprawę, bo zarówno \(p_n(x)\), jak i \((-1)^np_n(-x)\) są ortogonalnymi wielomianami unormowanymi, więc muszą być równe. Współczynniki wiodące wyjściowego ciągu wielomianów ortogonalnych nie mają tu znaczenia w kontekście dowodzonej równości.

Może jeszcze te wielomiany ortogonalne z parzystą funkcją wagową \(w(x)=w(-x)\). Wtedy \(\int_{-1}^1p_n(-x)q_n(-x)w(x)dx=\int_{-1}^1 p_n(x)p_m(x)w(-x)dx=\int_{-1}^1 p_n(x)p_m(x)w(x)dx\).

Łatwiej mi było posłużyć się teorią wielomianów ortogonalnych.