Wyznacz wskaźnik uwarunkowania zadania

Przybliżanie, metoda najmniejszych kwadratów, wielomiany interpolacyjne i inne.
Szalonapralka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 27 kwie 2020, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Wyznacz wskaźnik uwarunkowania zadania

Post autor: Szalonapralka »

Mam wyznaczyć wskaźnik uwarunkowania zadania polegającego na wyliczeniu wartości
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}+\sin(a)}{a+b} }\)
Wymyśliłem coś takiego i byłbym wdzięczny gdyby mi ktoś powiedział czy to bzdura czy jest ok
\(\displaystyle{ E_{i} \le 2^{-t} }\)
\(\displaystyle{
\left| \frac{ \frac{(a(1+ E_{1} ))^{2}+\sin(a(1+E_{1}))}{a(1+E_{1})+b(1+E_{2})}- \frac{a^{2}+\sin(a)}{a+b} }{\frac{a^{2}+\sin(a)}{a+b}} \right| \le
\left| \frac{ \frac{(a(1+ E_{1} ))^{2}+\sin(a(1+E_{1}))}{a+b}- \frac{a^{2}+\sin(a)}{a+b} }{\frac{a^{2}+\sin(a)}{a+b}} \right|=
\left| \frac{(a(1+ E_{1} ))^{2}+\sin(a(1+E_{1}))-a^{2}-\sin(a)}{a^{2}+\sin(a)} \right|=
}\)
\(\displaystyle{
\left| \frac{(a^{2}(1+ E_{3})+\sin(a(1+E_{1}))-a^{2}-\sin(a)}{a^{2}+\sin(a)} \right| =
\left| \frac{a^{2}E_{3}+\sin(a(1+E_{1})-sin(a)}{a^{2}+\sin(a)} \right| \le
\left| \frac{2+a^{2}E_{3}}{a^{2}-1} \right|
}\)

No i tutaj wnioskuje słabe uwarunkowanie jeśli \(\displaystyle{ a^{2} }\) jest bliskie \(\displaystyle{ 1}\).
Ostatnio zmieniony 17 lis 2020, o 22:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Wyznacz wskaźnik uwarunkowania zadania

Post autor: janusz47 »

Jest dobrze tylko w końcowym oszacowaniu postawiłbym \(\displaystyle{ 3 }\) zamiast \(\displaystyle{ 2.}\)

Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ a^2 \sim 1 ? }\)
Szalonapralka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 27 kwie 2020, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Wyznacz wskaźnik uwarunkowania zadania

Post autor: Szalonapralka »

W treści nie ma o tym mowy, powinienem tutaj dodać jakiś komentarz czy coś zmienić?
Ostatnio zmieniony 17 lis 2020, o 19:00 przez Szalonapralka, łącznie zmieniany 2 razy.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Wyznacz wskaźnik uwarunkowania zadania

Post autor: janusz47 »

Jest dobrze. Ma być \(\displaystyle{ 2.}\)

Liczba \(\displaystyle{ a }\) jest argumentem sinusa w zadaniu numerycznego obliczenia wartości wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{a^2 +\sin(a)}{a +b}. }\)

\(\displaystyle{ -1 \leq \sin(a) \leq 1 }\)

\(\displaystyle{ a \in \mathcal{P} = \left [ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right].}\)

Z nierówności \(\displaystyle{ CN \leq \left| \frac{2+a^{2}E_{3}}{a^{2}-1} \right | }\) wynika, że

ala \(\displaystyle{ a \sim 1 \in \mathcal{P} }\) - zadanie jest źle uwarunkowane.
Szalonapralka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 27 kwie 2020, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Wyznacz wskaźnik uwarunkowania zadania

Post autor: Szalonapralka »

Ok, dzięki
I jeszcze nachodzą mnie takie wątpliwości, czy nie dałoby się tych sinusów lepiej oszacować (teraz nie mam pojęcia jak), tak aby coś się poskracało i ostatecznie otrzymałbym wniosek, że zadanie jest jednak dobrze uwarunkowane?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Wyznacz wskaźnik uwarunkowania zadania

Post autor: janusz47 »

Nie trzeba lepszego oszacowania, bo doprowadziłeś do mianownika \(\displaystyle{ a^2 -1, }\) który dąży do zera gdy \(\displaystyle{ a \rightarrow 1 }\) zaś wskaźnik uwarunkowania \(\displaystyle{ |CN| \rightarrow \infty.}\)
ODPOWIEDZ