Jak wizualizować twierdzenie?

Przybliżanie, metoda najmniejszych kwadratów, wielomiany interpolacyjne i inne.
student_matematyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 3 razy

Jak wizualizować twierdzenie?

Post autor: student_matematyk »

Witam!

Jak wizualizować twierdzenie że gdy \(\displaystyle{ h}\) to element optymalny \(\displaystyle{ f}\), to różnica \(\displaystyle{ f-h}\) jest ortogonalna do przestrzeni skąd \(\displaystyle{ h}\) jest?

Rozumiem dowód itd tego twierdzenia, jednak mam pewne problemy z wyobrażeniem sobie tego wszystkiego.

Na wykładzie pokazał nam pan to gdy \(\displaystyle{ h}\) jest z \(\displaystyle{ \RR^2}\), a \(\displaystyle{ f}\) jest z \(\displaystyle{ \RR^3}\), jednak jak to może być że element optymalny jest z przestrzeni niższego stopnia niż funkcja "oryginalna"?

Poza tym, co gdy \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ h}\) są z \(\displaystyle{ \RR^2}\) na przykład? To jak to ich różnica ma być ortogonalna do przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\) (lub w innych słowach: do każdej funkcji z \(\displaystyle{ \RR^2}\))?
Ostatnio zmieniony 8 lis 2020, o 01:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Poprawa tematu.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Jak wizualizować twierdzenie?

Post autor: a4karo »

A możesz swoje pytanie umieścic w jakimś kontekście? Co to jest `f`, `h`, co to jest element optymalny?

Bardzo podejrzanie brzmi stwierdzenie
Na wykładzie pokazał nam pan to gdy `h` jest z `\RR^2` a `f` jest z `\RR^3`
bo ciężko wyobrazić sobie czym jest `f-h` w takim przypadku
student_matematyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 3 razy

Re: Jak wizualizować twierdzenie?

Post autor: student_matematyk »

a4karo pisze: 8 lis 2020, o 08:28 A możesz swoje pytanie umieścic w jakimś kontekście? Co to jest `f`, `h`, co to jest element optymalny?

Bardzo podejrzanie brzmi stwierdzenie
Na wykładzie pokazał nam pan to gdy `h` jest z `\RR^2` a `f` jest z `\RR^3`
bo ciężko wyobrazić sobie czym jest `f-h` w takim przypadku
Oczywiście jeszcze trzeba było dodać że przestrzenią w której my się ruszymy jest przestrzenią silnie unormowaną

`f` to nasza funkcja do której my aproksymujemy (więc nasza "oryginalna"), `h` to jest element optymalny

Ja bym chętnie wysłał wykład żebyś sobie mógł sam zobaczyć o co mi chodzi ale jednak ponieważ wykład jest na UPELu nie mogę tutaj Ci udostępnić.

To o co pytasz jest nawet narysowane na wykładzie: Wyobraź sobie płaszczyznę dwuwymiarową, a nad nią idzie jakaś funkcja trójwymiarowa `f` (powiedzmy że `f` jest prostą przechodzącą przez tę płaszczyznę, że przecina ją, tak jakbyś wbił ołówek w papier). I powiedzmy że na płaszczyźnie masz narysowaną jakąś funkcję `h` (też prosta, ale leżąca na płaszczyźnie). Więc między "końcami" (nie można oczywiście `f` i `h` rysować w nieskończoność, więc gdzieś się "kończą") funkcji `f` i `h` przechodzi również prosta (więc `f - h`), tylko że dla pewnego `h` ów prosta jest ortogonalna do naszej płaszczyzny dwuwymiarowej. A więc koniec końców jest `f - h` też ortogonalna do każdej innej funkcji z tej płaszczyzny

I właśnie to było na wykładzie. Mam nadzieję że możesz sobie to jakoś wyobrazić, bardzo szkoda że nie potrafię wysłać grafikę.

I właśnie mnie to dziwi czemu w ogóle rozważamy to że element optymalny może być `\RR^2` skoro nasza funkcja "oryginalna" `f` jest z `\RR^3`

No i oczywiście jak to twierdzenie wygląda gdy obydwoje funkcje (oryginalna i element optymalny) są z `\RR^2`? No jak może być w takim razie `f - h` ortogonalne do każdej funkcji z `\RR^2`?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Jak wizualizować twierdzenie?

Post autor: Dasio11 »

To co napisałeś ma niezbyt wiele sensu. Domyślam się, że kontekst jest taki: dana jest przestrzeń Hilberta \(\displaystyle{ X}\), jej domknięta podprzestrzeń \(\displaystyle{ H}\) i element \(\displaystyle{ f \in X}\). Zadanie polega na wyznaczeniu takiego elementu \(\displaystyle{ h \in H}\) ("elementu optymalnego"), dla którego odległość \(\displaystyle{ \|f-h\|}\) jest możliwie najmniejsza. Twierdzenie mówi że jest tak dokładnie wtedy, gdy wektor \(\displaystyle{ f-h}\) jest prostopadły do \(\displaystyle{ H}\).

Najlepiej tę sytuację zilustrować właśnie dla \(\displaystyle{ X = \RR^3}\), a za \(\displaystyle{ H}\) przyjąć dowolną płaszczyznę w \(\displaystyle{ \RR^3}\) przechodzącą przez zero (zapewne to miałeś na myśli pisząc że \(\displaystyle{ H = \RR^2}\)). Jeśli teraz \(\displaystyle{ f \in \RR^3}\) jest dowolnym punktem, to najlepszym przybliżeniem tego punktu leżącym na płaszczyźnie \(\displaystyle{ H}\) jest taki punkt \(\displaystyle{ h \in H}\), dla którego wektor \(\displaystyle{ f-h}\) jest prostopadły do płaszczyzny. Inaczej mówiąc, \(\displaystyle{ h}\) jest rzutem prostopadłym \(\displaystyle{ f}\) na \(\displaystyle{ H}\).
student_matematyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 3 razy

Re: Jak wizualizować twierdzenie?

Post autor: student_matematyk »

Dasio11 pisze: 8 lis 2020, o 13:53 To co napisałeś ma niezbyt wiele sensu. Domyślam się, że kontekst jest taki: dana jest przestrzeń Hilberta \(\displaystyle{ X}\), jej domknięta podprzestrzeń \(\displaystyle{ H}\) i element \(\displaystyle{ f \in X}\). Zadanie polega na wyznaczeniu takiego elementu \(\displaystyle{ h \in H}\) ("elementu optymalnego"), dla którego odległość \(\displaystyle{ \|f-h\|}\) jest możliwie najmniejsza. Twierdzenie mówi że jest tak dokładnie wtedy, gdy wektor \(\displaystyle{ f-h}\) jest prostopadły do \(\displaystyle{ H}\).

Najlepiej tę sytuację zilustrować właśnie dla \(\displaystyle{ X = \RR^3}\), a za \(\displaystyle{ H}\) przyjąć dowolną płaszczyznę w \(\displaystyle{ \RR^3}\) przechodzącą przez zero (zapewne to miałeś na myśli pisząc że \(\displaystyle{ H = \RR^2}\)). Jeśli teraz \(\displaystyle{ f \in \RR^3}\) jest dowolnym punktem, to najlepszym przybliżeniem tego punktu leżącym na płaszczyźnie \(\displaystyle{ H}\) jest taki punkt \(\displaystyle{ h \in H}\), dla którego wektor \(\displaystyle{ f-h}\) jest prostopadły do płaszczyzny. Inaczej mówiąc, \(\displaystyle{ h}\) jest rzutem prostopadłym \(\displaystyle{ f}\) na \(\displaystyle{ H}\).
No właśnie o to chodzi! Rzut ortogonalny! :)

Jednak opisujesz teraz to gdy `f` jest punktem, a my to zrobiliśmy gdy `f` jest funkcją. I właśnie to trochę jest dziwne dla mnie

No i oczywiście to, co gdy \(\displaystyle{ X = \RR^2}\) i \(\displaystyle{ H = \RR^2}\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Jak wizualizować twierdzenie?

Post autor: Dasio11 »

Opisałem taki a nie inny przykład, bo jest łatwy do wyobrażenia i dobrze ilustruje istotę twierdzenia. Jednak to samo zjawisko zachodzi w każdej przestrzeni Hilberta: nie ma żadnych przeszkód, żeby za \(\displaystyle{ X}\) przyjąć przestrzeń rzeczywistych funkcji ciągłych na przedziale \(\displaystyle{ [0, 1]}\) i rozważać najlepsze przybliżenie ustalonej funkcji \(\displaystyle{ f}\) elementami z domkniętej podprzestrzeni - choć z oczywistych względów taki przykład jest raczej niemożliwy do zilustrowania graficznie.

A gdy \(\displaystyle{ X = H = \RR^2}\), to oczywiście najlepszym przybliżeniem dowolnego punktu \(\displaystyle{ f \in \RR^2}\) jest on sam, tj. \(\displaystyle{ h=f}\) będzie zawsze elementem optymalnym. Wtedy też \(\displaystyle{ f-h}\) jest wektorem zerowym, czyli istotnie jest ortogonalny do każdego wektora z \(\displaystyle{ \RR^2}\).
student_matematyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 3 razy

Re: Jak wizualizować twierdzenie?

Post autor: student_matematyk »

Dasio11 pisze: 8 lis 2020, o 14:17 Opisałem taki a nie inny przykład, bo jest łatwy do wyobrażenia i dobrze ilustruje istotę twierdzenia. Jednak to samo zjawisko zachodzi dla każdej przestrzeni Hilberta - nie ma żadnych przeszkód, żeby za \(\displaystyle{ X}\) przyjąć przestrzeń rzeczywistych funkcji ciągłych na przedziale \(\displaystyle{ [0, 1]}\) i rozważać najlepsze przybliżenie ustalonej funkcji \(\displaystyle{ f}\) elementami z domkniętej podprzestrzeni.

A gdy \(\displaystyle{ X = H = \RR^2}\), to oczywiście najlepszym przybliżeniem dowolnego punktu \(\displaystyle{ f \in \RR^2}\) jest on sam, tj. \(\displaystyle{ h=f}\) będzie zawsze elementem optymalnym. Wtedy też \(\displaystyle{ f-h}\) jest wektorem zerowym, czyli istotnie jest ortogonalny do każdego wektora z \(\displaystyle{ \RR^2}\).
Ale czemu właśnie funkcje ciągłe na przedziale \(\displaystyle{ [0, 1]}\)? My to dosłownie dla dowolnej funkcji zdefiniowaliśmy twierdzenie.

Poza tym: Czemu można bez żadnych przeszkód przyjąć? Przecież "wysokość" funkcji f się może zmienić, więc odległość będzie najmniejsza tym bliżej f będzie naszego \(\displaystyle{ H}\).
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Jak wizualizować twierdzenie?

Post autor: Dasio11 »

student_matematyk pisze: 8 lis 2020, o 14:31Ale czemu właśnie funkcje ciągłe na przedziale \(\displaystyle{ [0, 1]}\)? My to dosłownie dla dowolnej funkcji zdefiniowaliśmy twierdzenie.
To znów tylko przykład. Twierdzenie można zastosować do dowolnego obiektu matematycznego (punktu, funkcji, zbioru itp.), o ile tylko na zbiorze tych obiektów zada się strukturę przestrzeni Hilberta i zdefiniuje się odpowiednią domkniętą podprzestrzeń. O jakie konkretnie funkcje i jaką strukturę na nich chodziło Waszemu wykładowcy - nie mam pojęcia.

student_matematyk pisze: 8 lis 2020, o 14:31Poza tym: Czemu można bez żadnych przeszkód przyjąć? Przecież "wysokość" funkcji f się może zmienić, więc odległość będzie najmniejsza tym bliżej f będzie naszego \(\displaystyle{ H}\).
Nie rozumiem: jaka "wysokość"? Względem czego ma się zmienić? Co to znaczy "odległość będzie najmniejsza tym bliżej \(\displaystyle{ f}\) będzie naszego \(\displaystyle{ H}\)"?
student_matematyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 3 razy

Re: Jak wizualizować twierdzenie?

Post autor: student_matematyk »

Dasio11 pisze: 8 lis 2020, o 14:48
student_matematyk pisze: 8 lis 2020, o 14:31Ale czemu właśnie funkcje ciągłe na przedziale \(\displaystyle{ [0, 1]}\)? My to dosłownie dla dowolnej funkcji zdefiniowaliśmy twierdzenie.
To znów tylko przykład. Twierdzenie można zastosować do dowolnego obiektu matematycznego (punktu, funkcji, zbioru itp.), o ile tylko na zbiorze tych obiektów zada się strukturę przestrzeni Hilberta i zdefiniuje się odpowiednią domkniętą podprzestrzeń. O jakie konkretnie funkcje i jaką strukturę na nich chodziło Waszemu wykładowcy - nie mam pojęcia.

student_matematyk pisze: 8 lis 2020, o 14:31Poza tym: Czemu można bez żadnych przeszkód przyjąć? Przecież "wysokość" funkcji f się może zmienić, więc odległość będzie najmniejsza tym bliżej f będzie naszego \(\displaystyle{ H}\).
Nie rozumiem: jaka "wysokość"? Względem czego ma się zmienić? Co to znaczy "odległość będzie najmniejsza tym bliżej \(\displaystyle{ f}\) będzie naszego \(\displaystyle{ H}\)"?

Chyba już zrozumiałem o co chodzi. Chodzi o to że h jest elementem optymalnym f \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \forall _{x\in X} f(x) - h(x) \perp H}\) więc obojętnie jaką funkcję f mamy jej rzut na (tutaj) płaszczyznę \(\displaystyle{ H}\) będzie zawsze nam dawało funkcję h od której odległość do funkcji f będzie zawsze najmniejsza (w porównaniu z innymi funkcjami)

W sumie jest to teraz jasne bo widać na tym przykładzie z wykładu. Tylko że nie było napisane że to dla każdego x ma być przypadek, myślałem ciągle że szukamy jakiś konkretny punkt (więc jakieś konkretne x)
ODPOWIEDZ