Jak znaleźć najmniejsze maximum funkcji możliwe, przy czym funkcja jest zależna od pewnego parametru alfa?

[student_matematyk]

Witam!

Jak znaleźć

\(\displaystyle{ \min_{\alpha \in \left[0,\pi \right]}\left\{\max_{x\in \:\left[0,\pi \right]}\left\{\cos x-1-\frac{\cos\alpha -1}{\alpha ^2}x^2\right\}\right\}}\)

Szukam więc takiego alfa, dla którego będę w stanie znaleźć "najmniejsze maximum funkcji możliwe". Coś takiego jak dla \(\displaystyle{ -x^{2} + a}\) i \(\displaystyle{ a \ge 1}\) najmniejsze maximum funkcji by było dla a równe 1 (przy x równe zero)

[Janusz Tracz]

Nie badałem tego dokładnie ale wydaje mi się, że:

\(\displaystyle{ \max_{x\in\left[ 0,\pi\right] }\left\{\cos x-1-\frac{\cos\alpha -1}{\alpha ^2}x^2\right\}=\cos \pi -1-\frac{\cos\alpha -1}{\alpha ^2} \pi ^2 }\)

to podejrzewam ze względu na to, że sprawdziłem kilka wartości. Jednak wydaje mi się, że coś z tym zadaniem jest nie tak. Funkcja pod minimum i maksimum nie jest określona na \(\displaystyle{ \left[ 0, \pi \right]^2 }\) więc treść nie ma za bardzo sensu.

[student_matematyk]

Nie badałem tego dokładnie ale wydaje mi się, że:

\(\displaystyle{ \max_{x\in\left[ 0,\pi\right] }\left\{\cos x-1-\frac{\cos\alpha -1}{\alpha ^2}x^2\right\}=\cos \pi -1-\frac{\cos\alpha -1}{\alpha ^2} \pi ^2 }\)

to podejrzewam ze względu na to, że sprawdziłem kilka wartości. Jednak wydaje mi się, że coś z tym zadaniem jest nie tak. Funkcja pod minimum i maksimum nie jest określona na \(\displaystyle{ \left[ 0, \pi \right]^2 }\) więc treść nie ma za bardzo sensu.

Pełna treść zadania jest tutaj: , tj. zadanie 3.

Więc co robię to jak można teraz trochę lepiej widać jest że biorę różnicę mojej funkcji f (co jest równe \(\displaystyle{ \cos x}\)) i mojego wielomianu Hermite'a \(\displaystyle{ 1 + \frac{\cos\alpha -1}{\alpha ^2}x^2}\), no i oczywiście badam normę maximum tej różnicy.

[janusz47]

1.
Formułujemy zadanie interpolacji Hermite'a dla funkcji \(\displaystyle{ f }\) i wielomianu Hermite'a \(\displaystyle{ H_{2}}\), interpolującego daną funkcję \(\displaystyle{ f }\) w węzłach interpolacji \(\displaystyle{ x_{0}, \ \ x_{1}, \ \ x_{2}.}\)

2.
Znajdujemy wartości współczynników wielomianu Hermite'a \(\displaystyle{ H_{2} (x) }\) w zależności od \(\displaystyle{ \alpha.}\)

3.
Określamy wartość współczynnika \(\displaystyle{ \alpha,}\) dla którego (reszta) błąd interpolacji jest najmniejszy według wzoru:

\(\displaystyle{ \left\|f(x) - H_{2}(x)\right\|\leq \frac{M_{6}}{6!}|\pi_{3}(x)|^2, }\)

gdzie

\(\displaystyle{ M_{6}(x) = \max_{\xi\in [0, \ \ \pi]} | f^{(6)}(\xi)|,}\)

\(\displaystyle{ \pi_{3}(x) = (x -x_{0})(x- x_{1})(x- x_{2}). }\)

Dodano po 25 minutach 28 sekundach:
W sformułowaniu zadania interpolacji Hermite'a wynikającego z treści zadania mamy jeden węzeł podwójny i jeden pojedynczy, (a nie dwa węzły podwójne),więc dla określenia wartości współczynnika \(\displaystyle{ \alpha }\) wystarczy uwzględnić pochodną czwartego rzędu funkcji \(\displaystyle{ f }\) podzieloną przez \(\displaystyle{ 4!}\)

[student_matematyk]

1.
Formułujemy zadanie interpolacji Hermite'a dla funkcji \(\displaystyle{ f }\) i wielomianu Hermite'a \(\displaystyle{ H_{2}}\), interpolującego daną funkcję \(\displaystyle{ f }\) w węzłach interpolacji \(\displaystyle{ x_{0}, \ \ x_{1}, \ \ x_{2}.}\)

2.
Znajdujemy wartości współczynników wielomianu Hermite'a \(\displaystyle{ H_{2} (x) }\) w zależności od \(\displaystyle{ \alpha.}\)

3.
Określamy wartość współczynnika \(\displaystyle{ \alpha,}\) dla którego (reszta) błąd interpolacji jest najmniejszy według wzoru:

\(\displaystyle{ \left\|f(x) - H_{2}(x)\right\|\leq \frac{M_{6}}{6!}|\pi_{3}(x)|^2, }\)

gdzie

\(\displaystyle{ M_{6}(x) = \max_{\xi\in [0, \ \ \pi]} | f^{(6)}(\xi)|,}\)

\(\displaystyle{ \pi_{3}(x) = (x -x_{0})(x- x_{1})(x- x_{2}). }\)

Dodano po 25 minutach 28 sekundach:
W sformułowaniu zadania interpolacji Hermite'a wynikającego z treści zadania mamy jeden węzeł podwójny i jeden pojedynczy, (a nie dwa węzły podwójne),więc dla określenia wartości współczynnika \(\displaystyle{ \alpha }\) wystarczy uwzględnić pochodną czwartego rzędu funkcji \(\displaystyle{ f }\) podzieloną przez \(\displaystyle{ 4!}\)

Mam do tego wszystkiego parę pytań:

1. Mówi Pan że trzeba wyliczyć współczynnik alfa taki że właśnie spełnia tą nierówność w punkcie trzecim. No ale jednak pytanie tutaj jest co z normą maximum się stało? Ani po lewej stronie nie mamy ją, ani po drugiej. Rozumiem że oszacujemy nasz błąd przez to M6 (M4), i gdybyśmy mieli do czynienia z inną normą to byłoby to bardziej powiedzmy "widoczne" skąd się to wszystko bierze. Jednak nie za bardzo widzę czemu możemy tak postępować skoro mamy przy obydwóch stronach normę maximum

2. Właśnie już skorygował Pan że powinno być M4 i 4!, ale czemu 4? Przecież skoro mamy H_2 to chyba musimy brać 2+1 pochodną funkcji a (2+1)!, tak? Co najmniej nam tak przekazano na wykładzie że gdy mamy funkcję H_n to wtedy przy błędzie interpolacji musimy brać (n+1)-wszą pochodną funkcji f i też (n+1)!

[janusz47]

Proszę Pana

Wszystkie wzory oszacowań błędów problemu interpolacji: Lagrange'a, Newtona, Hermite'a są wyprowadzane dla normy maksimum.

Stopień \(\displaystyle{ (2n+1) }\) jest dla interpolacji Lagrange'a bez węzłów wielokrotnych.