Witam!
Jak znaleźć
\(\displaystyle{ \min_{\alpha \in \left[0,\pi \right]}\left\{\max_{x\in \:\left[0,\pi \right]}\left\{\cos x-1-\frac{\cos\alpha -1}{\alpha ^2}x^2\right\}\right\}}\)
Szukam więc takiego alfa, dla którego będę w stanie znaleźć "najmniejsze maximum funkcji możliwe". Coś takiego jak dla \(\displaystyle{ -x^{2} + a}\) i \(\displaystyle{ a \ge 1}\) najmniejsze maximum funkcji by było dla a równe 1 (przy x równe zero)
Jak znaleźć najmniejsze maximum funkcji możliwe, przy czym funkcja jest zależna od pewnego parametru alfa?
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Jak znaleźć najmniejsze maximum funkcji możliwe, przy czym funkcja jest zależna od pewnego parametru alfa?
Nie badałem tego dokładnie ale wydaje mi się, że:
to podejrzewam ze względu na to, że sprawdziłem kilka wartości. Jednak wydaje mi się, że coś z tym zadaniem jest nie tak. Funkcja pod minimum i maksimum nie jest określona na \(\displaystyle{ \left[ 0, \pi \right]^2 }\) więc treść nie ma za bardzo sensu.
\(\displaystyle{ \max_{x\in\left[ 0,\pi\right] }\left\{\cos x-1-\frac{\cos\alpha -1}{\alpha ^2}x^2\right\}=\cos \pi -1-\frac{\cos\alpha -1}{\alpha ^2} \pi ^2 }\)
to podejrzewam ze względu na to, że sprawdziłem kilka wartości. Jednak wydaje mi się, że coś z tym zadaniem jest nie tak. Funkcja pod minimum i maksimum nie jest określona na \(\displaystyle{ \left[ 0, \pi \right]^2 }\) więc treść nie ma za bardzo sensu.
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
Re: Jak znaleźć najmniejsze maximum funkcji możliwe, przy czym funkcja jest zależna od pewnego parametru alfa?
Pełna treść zadania jest tutaj: , tj. zadanie 3.Janusz Tracz pisze: ↑30 paź 2020, o 23:29 Nie badałem tego dokładnie ale wydaje mi się, że:
\(\displaystyle{ \max_{x\in\left[ 0,\pi\right] }\left\{\cos x-1-\frac{\cos\alpha -1}{\alpha ^2}x^2\right\}=\cos \pi -1-\frac{\cos\alpha -1}{\alpha ^2} \pi ^2 }\)
to podejrzewam ze względu na to, że sprawdziłem kilka wartości. Jednak wydaje mi się, że coś z tym zadaniem jest nie tak. Funkcja pod minimum i maksimum nie jest określona na \(\displaystyle{ \left[ 0, \pi \right]^2 }\) więc treść nie ma za bardzo sensu.
Więc co robię to jak można teraz trochę lepiej widać jest że biorę różnicę mojej funkcji f (co jest równe \(\displaystyle{ \cos x}\)) i mojego wielomianu Hermite'a \(\displaystyle{ 1 + \frac{\cos\alpha -1}{\alpha ^2}x^2}\), no i oczywiście badam normę maximum tej różnicy.
Ostatnio zmieniony 30 paź 2020, o 23:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Jak znaleźć najmniejsze maximum funkcji możliwe, przy czym funkcja jest zależna od pewnego parametru alfa?
1.
Formułujemy zadanie interpolacji Hermite'a dla funkcji \(\displaystyle{ f }\) i wielomianu Hermite'a \(\displaystyle{ H_{2}}\), interpolującego daną funkcję \(\displaystyle{ f }\) w węzłach interpolacji \(\displaystyle{ x_{0}, \ \ x_{1}, \ \ x_{2}.}\)
2.
Znajdujemy wartości współczynników wielomianu Hermite'a \(\displaystyle{ H_{2} (x) }\) w zależności od \(\displaystyle{ \alpha.}\)
3.
Określamy wartość współczynnika \(\displaystyle{ \alpha,}\) dla którego (reszta) błąd interpolacji jest najmniejszy według wzoru:
\(\displaystyle{ \left\|f(x) - H_{2}(x)\right\|\leq \frac{M_{6}}{6!}|\pi_{3}(x)|^2, }\)
gdzie
\(\displaystyle{ M_{6}(x) = \max_{\xi\in [0, \ \ \pi]} | f^{(6)}(\xi)|,}\)
\(\displaystyle{ \pi_{3}(x) = (x -x_{0})(x- x_{1})(x- x_{2}). }\)
Dodano po 25 minutach 28 sekundach:
W sformułowaniu zadania interpolacji Hermite'a wynikającego z treści zadania mamy jeden węzeł podwójny i jeden pojedynczy, (a nie dwa węzły podwójne),więc dla określenia wartości współczynnika \(\displaystyle{ \alpha }\) wystarczy uwzględnić pochodną czwartego rzędu funkcji \(\displaystyle{ f }\) podzieloną przez \(\displaystyle{ 4!}\)
Formułujemy zadanie interpolacji Hermite'a dla funkcji \(\displaystyle{ f }\) i wielomianu Hermite'a \(\displaystyle{ H_{2}}\), interpolującego daną funkcję \(\displaystyle{ f }\) w węzłach interpolacji \(\displaystyle{ x_{0}, \ \ x_{1}, \ \ x_{2}.}\)
2.
Znajdujemy wartości współczynników wielomianu Hermite'a \(\displaystyle{ H_{2} (x) }\) w zależności od \(\displaystyle{ \alpha.}\)
3.
Określamy wartość współczynnika \(\displaystyle{ \alpha,}\) dla którego (reszta) błąd interpolacji jest najmniejszy według wzoru:
\(\displaystyle{ \left\|f(x) - H_{2}(x)\right\|\leq \frac{M_{6}}{6!}|\pi_{3}(x)|^2, }\)
gdzie
\(\displaystyle{ M_{6}(x) = \max_{\xi\in [0, \ \ \pi]} | f^{(6)}(\xi)|,}\)
\(\displaystyle{ \pi_{3}(x) = (x -x_{0})(x- x_{1})(x- x_{2}). }\)
Dodano po 25 minutach 28 sekundach:
W sformułowaniu zadania interpolacji Hermite'a wynikającego z treści zadania mamy jeden węzeł podwójny i jeden pojedynczy, (a nie dwa węzły podwójne),więc dla określenia wartości współczynnika \(\displaystyle{ \alpha }\) wystarczy uwzględnić pochodną czwartego rzędu funkcji \(\displaystyle{ f }\) podzieloną przez \(\displaystyle{ 4!}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
Re: Jak znaleźć najmniejsze maximum funkcji możliwe, przy czym funkcja jest zależna od pewnego parametru alfa?
Mam do tego wszystkiego parę pytań:janusz47 pisze: ↑31 paź 2020, o 10:05 1.
Formułujemy zadanie interpolacji Hermite'a dla funkcji \(\displaystyle{ f }\) i wielomianu Hermite'a \(\displaystyle{ H_{2}}\), interpolującego daną funkcję \(\displaystyle{ f }\) w węzłach interpolacji \(\displaystyle{ x_{0}, \ \ x_{1}, \ \ x_{2}.}\)
2.
Znajdujemy wartości współczynników wielomianu Hermite'a \(\displaystyle{ H_{2} (x) }\) w zależności od \(\displaystyle{ \alpha.}\)
3.
Określamy wartość współczynnika \(\displaystyle{ \alpha,}\) dla którego (reszta) błąd interpolacji jest najmniejszy według wzoru:
\(\displaystyle{ \left\|f(x) - H_{2}(x)\right\|\leq \frac{M_{6}}{6!}|\pi_{3}(x)|^2, }\)
gdzie
\(\displaystyle{ M_{6}(x) = \max_{\xi\in [0, \ \ \pi]} | f^{(6)}(\xi)|,}\)
\(\displaystyle{ \pi_{3}(x) = (x -x_{0})(x- x_{1})(x- x_{2}). }\)
Dodano po 25 minutach 28 sekundach:
W sformułowaniu zadania interpolacji Hermite'a wynikającego z treści zadania mamy jeden węzeł podwójny i jeden pojedynczy, (a nie dwa węzły podwójne),więc dla określenia wartości współczynnika \(\displaystyle{ \alpha }\) wystarczy uwzględnić pochodną czwartego rzędu funkcji \(\displaystyle{ f }\) podzieloną przez \(\displaystyle{ 4!}\)
1. Mówi Pan że trzeba wyliczyć współczynnik alfa taki że właśnie spełnia tą nierówność w punkcie trzecim. No ale jednak pytanie tutaj jest co z normą maximum się stało? Ani po lewej stronie nie mamy ją, ani po drugiej. Rozumiem że oszacujemy nasz błąd przez to M6 (M4), i gdybyśmy mieli do czynienia z inną normą to byłoby to bardziej powiedzmy "widoczne" skąd się to wszystko bierze. Jednak nie za bardzo widzę czemu możemy tak postępować skoro mamy przy obydwóch stronach normę maximum
2. Właśnie już skorygował Pan że powinno być M4 i 4!, ale czemu 4? Przecież skoro mamy H_2 to chyba musimy brać 2+1 pochodną funkcji a (2+1)!, tak? Co najmniej nam tak przekazano na wykładzie że gdy mamy funkcję H_n to wtedy przy błędzie interpolacji musimy brać (n+1)-wszą pochodną funkcji f i też (n+1)!
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Jak znaleźć najmniejsze maximum funkcji możliwe, przy czym funkcja jest zależna od pewnego parametru alfa?
Proszę Pana
Wszystkie wzory oszacowań błędów problemu interpolacji: Lagrange'a, Newtona, Hermite'a są wyprowadzane dla normy maksimum.
Stopień \(\displaystyle{ (2n+1) }\) jest dla interpolacji Lagrange'a bez węzłów wielokrotnych.
Wszystkie wzory oszacowań błędów problemu interpolacji: Lagrange'a, Newtona, Hermite'a są wyprowadzane dla normy maksimum.
Stopień \(\displaystyle{ (2n+1) }\) jest dla interpolacji Lagrange'a bez węzłów wielokrotnych.