Wyznacz wielomian interpolacyjny w postaci Lagrange'a i Newtona dla danych:
1) \(\displaystyle{ (2,11), (0,7), (3,28)}\)
2) \(\displaystyle{ (0,1), (2,-1), (3,1), (4,1), (5,2)}\)
Wielomian interpolacyjny w postaci Lagrange'a i Newtona
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7916
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Wielomian interpolacyjny w postaci Lagrange'a i Newtona
Musimy napisać wzory na
-wielomian Lagrange'a
- wielomian Newtona.
Podstawić do tych wzorów dane węzły interpolacyjne: a), b).
W wielomianie Newtona najpierw obliczamy dla danych węzłów interpolacyjnych wartości różnic dzielonych.
Dodano po 3 godzinach 19 minutach 7 sekundach:
1)
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
x_{i} & 2 & 0 & 3 \\ \hline
y_{i} & 11 & 7 & 28 \\ \hline \end{tabular} }\)
Pierwszy sposób
Postać wielomianu Lagrange'a opartego na trzech węzłach:
\(\displaystyle{ \mathcal{ L}_{2}(x) = \frac{(x -x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0} -x_{1})(x_{0}-x_{2})}y_{0} + \frac{(x -x_{0})(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}y_{1} + \frac{(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2} -x_{0})(x_{2}-x_{1})}y_{2} }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{L}_{2}(x) = \frac{(x-0)(x-3)}{(2-0)(2-3)}\cdot 11 + \frac{(x-2)(x-3)}{(0-2)(0-3)}\cdot 7 + \frac{(x-2)(x-0)}{(3-2)(3-0)}\cdot 28 }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{L}_{2}(x) = -\frac{11}{2}(x^2 -3x) +\frac{7}{6}(x^2 -5x +6) + \frac{28}{3}(x^2 -2x) = \frac{1}{6}\left[ -33(x^2-3x) +7(x^2-5x +6) +56(x^2-2x)\right] }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{L}_{2}(x) = \frac{1}{6} \left[ 30x^2 -48x +42 \right] = 5x^2 -8x + 7. }\)
Drugi sposób (gdy nie pamiętamy postaci wielomianu Lagrange'a)
\(\displaystyle{ \mathcal{L}_{2}(x) = L_{0}(x) + L_{1}(x) + L_{2}(x) }\)
\(\displaystyle{ L_{0}(x) = a_{0}(x -0)(x -3) }\)
\(\displaystyle{ L_{0}(2) = 11 }\)
\(\displaystyle{ a_{0}(2 -0)(2 -3) = 11, \ \ -2a_{0} = 11, \ \ a_{0} = -\frac{11}{2} }\)
\(\displaystyle{ L_{0}(x) = -\frac{11}{2} x(x -3) }\)
\(\displaystyle{ L_{1}(x) = a_{1}(x -2)(x-3) }\)
\(\displaystyle{ L_{1}(0) = 7 }\)
\(\displaystyle{ a_{1}(0-2)(0-3) = 7, \ \ 6a_{1} = 7, \ \ a_{1} = \frac{7}{6}, }\)
\(\displaystyle{ L_{1}(x) = \frac{7}{6}(x-2)(x-3) }\)
\(\displaystyle{ L_{2}(x) = a_{2}(x-2)(x-0) }\)
\(\displaystyle{ L_{2}(3) = 28 }\)
\(\displaystyle{ a_{2}(3-2)(3-0) = 28, \ \ 3a_{2} = 28, \ \ a_{2} = \frac{28}{3},}\)
\(\displaystyle{ L_{2}(x) = \frac{28}{3}(x-2)x}\)
Postać wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}(x) = -\frac{11}{2} x(x-3) + \frac{7}{6}(x-2)(x-3) + \frac{28}{3}(x-2)x = \frac{ -33(x^2 -3x)+7(x^2-5x+6)+56(x^2-2x)}{6} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{-33x^2+99x+7x^2-35x+42+56x^2-112x}{6}= \frac{30x^2-48x+42}{6}= 5x^2 - 8x +7.}\)
Postać wielomianu interpolacyjnego w bazie Newtona opartego na trzech węzłach interpolacyjnych:
\(\displaystyle{ \mathcal{N}_{2}(x) = f[x_{0}] + f[x_{0}, x_{1}](x-x_{0}) + f[x_{0},x_{1}, x_{2}](x-x_{0})(x-x_{1}) }\)
Wartości różnic dzielonych:
\(\displaystyle{ f[x_{0}] = 11,}\)
\(\displaystyle{ f[x_{0},x_{1}] = \frac{7 -11}{0-2} = \frac{-4}{-2} = 2,}\)
\(\displaystyle{ [x_{2}, x_{1}] = \frac{28-7}{3-0} = \frac{21}{3} = 7,}\)
\(\displaystyle{ f[x_{0},x_{1},x_{2}] = \frac{7-2}{3-2} = 5. }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{N}_{2}(x) = 11 + 2(x-2) + 5(x-2)(x-0) = 11 + 2x -4 +5x^2-10x = 5x^2 -8x +7. }\)
Dodano po 35 minutach 55 sekundach:
Wielomian w bazie \(\displaystyle{ \{1, x, x^2 \} }\)
\(\displaystyle{ w(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^2 }\)
Na podstawie tabelki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} w(2) = 11 \\ w_{0} = 7, \\ w(3) = 28 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0} +2a_{1} + 4a_{2} = 11\\ a_{0} +0a_{1} +0a_{2} = 7 \\ a_{0} +3a_{1} +9a_{2} = 28 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \left [\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 9 \end {matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} a_{0} \\ a_{1}\\ a_{2}\end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} 11 \\ 7 \\ 28 \end{matrix} \right]. }\)
Rozwiązując ten prosty układ równań na przykład w OCTAVE
\(\displaystyle{ w(x) = 5x^2 - 8x + 7. }\)
2)
Podobnie
Z punktu widzenia obliczeń numerycznych ostatnia metoda dla dużych układów równań jest źle uwarunkowana numerycznie ze wzlgędu na przenoszenie się błędów i duży koszt obliczeń.
-wielomian Lagrange'a
- wielomian Newtona.
Podstawić do tych wzorów dane węzły interpolacyjne: a), b).
W wielomianie Newtona najpierw obliczamy dla danych węzłów interpolacyjnych wartości różnic dzielonych.
Dodano po 3 godzinach 19 minutach 7 sekundach:
1)
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
x_{i} & 2 & 0 & 3 \\ \hline
y_{i} & 11 & 7 & 28 \\ \hline \end{tabular} }\)
Pierwszy sposób
Postać wielomianu Lagrange'a opartego na trzech węzłach:
\(\displaystyle{ \mathcal{ L}_{2}(x) = \frac{(x -x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0} -x_{1})(x_{0}-x_{2})}y_{0} + \frac{(x -x_{0})(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}y_{1} + \frac{(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2} -x_{0})(x_{2}-x_{1})}y_{2} }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{L}_{2}(x) = \frac{(x-0)(x-3)}{(2-0)(2-3)}\cdot 11 + \frac{(x-2)(x-3)}{(0-2)(0-3)}\cdot 7 + \frac{(x-2)(x-0)}{(3-2)(3-0)}\cdot 28 }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{L}_{2}(x) = -\frac{11}{2}(x^2 -3x) +\frac{7}{6}(x^2 -5x +6) + \frac{28}{3}(x^2 -2x) = \frac{1}{6}\left[ -33(x^2-3x) +7(x^2-5x +6) +56(x^2-2x)\right] }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{L}_{2}(x) = \frac{1}{6} \left[ 30x^2 -48x +42 \right] = 5x^2 -8x + 7. }\)
Drugi sposób (gdy nie pamiętamy postaci wielomianu Lagrange'a)
\(\displaystyle{ \mathcal{L}_{2}(x) = L_{0}(x) + L_{1}(x) + L_{2}(x) }\)
\(\displaystyle{ L_{0}(x) = a_{0}(x -0)(x -3) }\)
\(\displaystyle{ L_{0}(2) = 11 }\)
\(\displaystyle{ a_{0}(2 -0)(2 -3) = 11, \ \ -2a_{0} = 11, \ \ a_{0} = -\frac{11}{2} }\)
\(\displaystyle{ L_{0}(x) = -\frac{11}{2} x(x -3) }\)
\(\displaystyle{ L_{1}(x) = a_{1}(x -2)(x-3) }\)
\(\displaystyle{ L_{1}(0) = 7 }\)
\(\displaystyle{ a_{1}(0-2)(0-3) = 7, \ \ 6a_{1} = 7, \ \ a_{1} = \frac{7}{6}, }\)
\(\displaystyle{ L_{1}(x) = \frac{7}{6}(x-2)(x-3) }\)
\(\displaystyle{ L_{2}(x) = a_{2}(x-2)(x-0) }\)
\(\displaystyle{ L_{2}(3) = 28 }\)
\(\displaystyle{ a_{2}(3-2)(3-0) = 28, \ \ 3a_{2} = 28, \ \ a_{2} = \frac{28}{3},}\)
\(\displaystyle{ L_{2}(x) = \frac{28}{3}(x-2)x}\)
Postać wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}(x) = -\frac{11}{2} x(x-3) + \frac{7}{6}(x-2)(x-3) + \frac{28}{3}(x-2)x = \frac{ -33(x^2 -3x)+7(x^2-5x+6)+56(x^2-2x)}{6} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{-33x^2+99x+7x^2-35x+42+56x^2-112x}{6}= \frac{30x^2-48x+42}{6}= 5x^2 - 8x +7.}\)
Postać wielomianu interpolacyjnego w bazie Newtona opartego na trzech węzłach interpolacyjnych:
\(\displaystyle{ \mathcal{N}_{2}(x) = f[x_{0}] + f[x_{0}, x_{1}](x-x_{0}) + f[x_{0},x_{1}, x_{2}](x-x_{0})(x-x_{1}) }\)
Wartości różnic dzielonych:
\(\displaystyle{ f[x_{0}] = 11,}\)
\(\displaystyle{ f[x_{0},x_{1}] = \frac{7 -11}{0-2} = \frac{-4}{-2} = 2,}\)
\(\displaystyle{ [x_{2}, x_{1}] = \frac{28-7}{3-0} = \frac{21}{3} = 7,}\)
\(\displaystyle{ f[x_{0},x_{1},x_{2}] = \frac{7-2}{3-2} = 5. }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{N}_{2}(x) = 11 + 2(x-2) + 5(x-2)(x-0) = 11 + 2x -4 +5x^2-10x = 5x^2 -8x +7. }\)
Dodano po 35 minutach 55 sekundach:
Wielomian w bazie \(\displaystyle{ \{1, x, x^2 \} }\)
\(\displaystyle{ w(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^2 }\)
Na podstawie tabelki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} w(2) = 11 \\ w_{0} = 7, \\ w(3) = 28 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0} +2a_{1} + 4a_{2} = 11\\ a_{0} +0a_{1} +0a_{2} = 7 \\ a_{0} +3a_{1} +9a_{2} = 28 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \left [\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 9 \end {matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} a_{0} \\ a_{1}\\ a_{2}\end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} 11 \\ 7 \\ 28 \end{matrix} \right]. }\)
Rozwiązując ten prosty układ równań na przykład w OCTAVE
Kod: Zaznacz cały
>> A = [1,2,4;1,0,0;1,3,9]
A =
1 2 4
1 0 0
1 3 9
>> b = [11;7;28]
b =
11
7
28
>> a = A^-1*b
>> a = A^-1*b
a =
7.0000
-8.0000
5.0000
2)
Podobnie
Z punktu widzenia obliczeń numerycznych ostatnia metoda dla dużych układów równań jest źle uwarunkowana numerycznie ze wzlgędu na przenoszenie się błędów i duży koszt obliczeń.