Witam
Wykaż wskaźnik uwarunkowania dla \(\displaystyle{ w(a,b)=a^2 + b^2.}\)
To jest to co mam na razie:
\(\displaystyle{ w\left(a+b\right)=a^2+b^2}\)
\(\displaystyle{ \alpha =a\left(1+E_1\right),\:\beta \:=b\left(1+E_2\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\left|w\left(\alpha ,\beta \right)-w\left(a,b\right)\right|}{\left|w\left(a,b\right)\right|}=\frac{\left|a^2\left(1+E_1\right)^2+b^2\left(1+E_2\right)^2-\left(a^2+b^2\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}=\frac{\left|a^2\left(2E_1+E_1^2\right)+b^2\left(2E_2+E_2^2\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|} }\)
Niech \(\displaystyle{ E\::=max\left(E_1,\:E_2\right)}\), wtedy:
\(\displaystyle{ \le \frac{\left|a^2\left(2E+E^2\right)+b^2\left(2E+E^2\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}=2E+E^2}\)
Więc:
\(\displaystyle{ \frac{\left|w\left(\alpha ,\beta \right)-w\left(a,b\right)\right|}{\left|w\left(a,b\right)\right|} \le 2E+E^2}\)
Dla \(\displaystyle{ E\::=max\left(E_1,\:E_2\right)}\)
Jednak nie wiem jak dalej liczyć gdybym chciał dostać \(\displaystyle{ cond\left(w,\:a,\:b\right)}\)
Wiem że definicja wskaźnika uwarunkowania jest:
\(\displaystyle{ \frac{\left|\phi \left(d+\Delta d\right)-\phi \left(d\right)\right|}{\left|\phi \left(d\right)\right|}\le cond\left(\phi ,\:d\right)\:\frac{\left|\Delta d\right|}{\left|d\right|}}\)
Jednak dostałem zupełnie niezależne od "d" (tutaj a i b) cond.
I jak miałoby \(\displaystyle{ \frac{\left|\Delta d\right|}{\left|d\right|} }\) tutaj w tym przykładzie wyglądać?
Wykaż wskaźnik uwarunkowania
-
student_matematyk
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
Wykaż wskaźnik uwarunkowania
Ostatnio zmieniony 17 paź 2020, o 20:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie używaj wzorów matematycznych temacie. Temat nie powinen być początkiem treści zadania.
Powód: Nie używaj wzorów matematycznych temacie. Temat nie powinen być początkiem treści zadania.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Wykaż wskaźnik uwarunkowania dla w(a,b)=a^2 + b^2
\(\displaystyle{ w: \RR^2 \rightarrow \RR, \ \ w(a,b) = a^2 +b^2. }\)
Względny wskaźnik uwarunkowania
\(\displaystyle{ cond(a,b)_{w} = \kappa_{w} = \frac{\parallel Df(a,b) \parallel_{\infty} \cdot \parallel a, b\parallel^{T}_{\infty}}{|w(a, b)|}}\)
\(\displaystyle{ \kappa_{w} = \frac{(2|a| + 2|b|) \max [|a|, |b| ]}{\sqrt{a^4 +b^4}} = \begin{cases} \frac{2(|a| +|b| )|a |}{\sqrt{a^4+b^4}} \ \ \mbox{gdy} \ \ |a| > |b| \\ \frac{2(|a| + |b| )|b|}{\sqrt{a^4 + b^4}} \ \ \mbox{gdy} \ \ |b| >|a| \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \kappa_{w}\geq 2 }\) -zadanie obliczania sumy kwadratów dwóch liczb algorytmem podnoszenia do kwadratu i dodawania jest zadaniem numerycznym źle uwarunkowanym.
Literatura
J.H Wilkinson. ROUNDING ERRORS IN ALGEBRAIC PROCESSES. Dover Publications; Reprint Polish Edition (7 czerwca 1994)
Względny wskaźnik uwarunkowania
\(\displaystyle{ cond(a,b)_{w} = \kappa_{w} = \frac{\parallel Df(a,b) \parallel_{\infty} \cdot \parallel a, b\parallel^{T}_{\infty}}{|w(a, b)|}}\)
\(\displaystyle{ \kappa_{w} = \frac{(2|a| + 2|b|) \max [|a|, |b| ]}{\sqrt{a^4 +b^4}} = \begin{cases} \frac{2(|a| +|b| )|a |}{\sqrt{a^4+b^4}} \ \ \mbox{gdy} \ \ |a| > |b| \\ \frac{2(|a| + |b| )|b|}{\sqrt{a^4 + b^4}} \ \ \mbox{gdy} \ \ |b| >|a| \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \kappa_{w}\geq 2 }\) -zadanie obliczania sumy kwadratów dwóch liczb algorytmem podnoszenia do kwadratu i dodawania jest zadaniem numerycznym źle uwarunkowanym.
Literatura
J.H Wilkinson. ROUNDING ERRORS IN ALGEBRAIC PROCESSES. Dover Publications; Reprint Polish Edition (7 czerwca 1994)
-
student_matematyk
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
Re: Wykaż wskaźnik uwarunkowania
Okay, poprawiłem trochę rachunki i na razie mam tyle:
\(\displaystyle{ \frac{\left|a^2\left(2E_a+E_a^2\right)+b^2\left(2E_b+E_b^2\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}\le cond\left(w,\:a,\:b\right)}\)
Użyłem normę euklidesową (na to co odpowiada ilorazowi \(\displaystyle{ \frac{\left|\Delta d\right|}{\left|d\right|}}\) w definicji) i dałem to na drugą stronę.
Wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{\left|a^2E_a^2+b^2E_b^2\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}\le \frac{\left|a^22E_a+a^2E_a^2+b^22E_b+b^2E_b^2\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}\le cond\left(w,\:a,\:b\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left|a^2E_a^2+b^2E_b^2\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}\le cond\left(w,\:a,\:b\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}\le cond\left(w,\:a,\:b\right)}\)
Tylko co dalej? Muszę znaleźć jakąś zależność tak żeby móc coś znaleźć mniejszego/równego od licznika (co ale nie będzie zawierało żadnego błędu względnego)
Dodano po 1 godzinie 26 minutach 34 sekundach:
Re: Wykaż wskaźnik uwarunkowania dla w(a,b)=a^2 + b^2
Mam jeszcze kolejny pomysł:
\(\displaystyle{ w\left(a+b\right)=a^2+b^2}\)
\(\displaystyle{ \alpha =a\left(1+E_1\right),\:\beta \:=b\left(1+E_2\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\left|w\left(\alpha ,\beta \right)-w\left(a,b\right)\right|}{\left|w\left(a,b\right)\right|}=\frac{\left|a^2\left(1+E_1\right)^2+b^2\left(1+E_2\right)^2-\left(a^2+b^2\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\le \frac{\left|a^2\left(1+E_1\right)^2+b^2\left(1+E_2\right)^2\right|}{\left|a^2+b^2\right|}=\frac{\left|a^2\left(1+2E_1+E_1^2\right)+b^2\left(1+2E_2+E_2^2\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}}\)
Niech \(\displaystyle{ E_a=2E_1+E_1^2}\) i \(\displaystyle{ E_b=2E_2+E_2^2}\) wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{\left|a^2\left(1+E_a\right)+b^2\left(1+E_b\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}}\)
Niech \(\displaystyle{ c\::=max\left\{a^2,\:b^2\right\} , E\::=max\left\{E_a,\:E_b\right\}}\) wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{\left|a^2\left(1+E_a\right)+b^2\left(1+E_b\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\le \frac{\left|2c\left(1+E\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}}\)
Ale co mam dalej zrobić, by mieć \(\displaystyle{ \le }\) coś tam z (a, b) * \(\displaystyle{ 2^{-t}}\)?
\(\displaystyle{ \frac{\left|a^2\left(2E_a+E_a^2\right)+b^2\left(2E_b+E_b^2\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}\le cond\left(w,\:a,\:b\right)}\)
Użyłem normę euklidesową (na to co odpowiada ilorazowi \(\displaystyle{ \frac{\left|\Delta d\right|}{\left|d\right|}}\) w definicji) i dałem to na drugą stronę.
Wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{\left|a^2E_a^2+b^2E_b^2\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}\le \frac{\left|a^22E_a+a^2E_a^2+b^22E_b+b^2E_b^2\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}\le cond\left(w,\:a,\:b\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left|a^2E_a^2+b^2E_b^2\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}\le cond\left(w,\:a,\:b\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}\le cond\left(w,\:a,\:b\right)}\)
Tylko co dalej? Muszę znaleźć jakąś zależność tak żeby móc coś znaleźć mniejszego/równego od licznika (co ale nie będzie zawierało żadnego błędu względnego)
Dodano po 1 godzinie 26 minutach 34 sekundach:
Re: Wykaż wskaźnik uwarunkowania dla w(a,b)=a^2 + b^2
Mam jeszcze kolejny pomysł:
\(\displaystyle{ w\left(a+b\right)=a^2+b^2}\)
\(\displaystyle{ \alpha =a\left(1+E_1\right),\:\beta \:=b\left(1+E_2\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\left|w\left(\alpha ,\beta \right)-w\left(a,b\right)\right|}{\left|w\left(a,b\right)\right|}=\frac{\left|a^2\left(1+E_1\right)^2+b^2\left(1+E_2\right)^2-\left(a^2+b^2\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\le \frac{\left|a^2\left(1+E_1\right)^2+b^2\left(1+E_2\right)^2\right|}{\left|a^2+b^2\right|}=\frac{\left|a^2\left(1+2E_1+E_1^2\right)+b^2\left(1+2E_2+E_2^2\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}}\)
Niech \(\displaystyle{ E_a=2E_1+E_1^2}\) i \(\displaystyle{ E_b=2E_2+E_2^2}\) wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{\left|a^2\left(1+E_a\right)+b^2\left(1+E_b\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}}\)
Niech \(\displaystyle{ c\::=max\left\{a^2,\:b^2\right\} , E\::=max\left\{E_a,\:E_b\right\}}\) wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{\left|a^2\left(1+E_a\right)+b^2\left(1+E_b\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\le \frac{\left|2c\left(1+E\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}}\)
Ale co mam dalej zrobić, by mieć \(\displaystyle{ \le }\) coś tam z (a, b) * \(\displaystyle{ 2^{-t}}\)?