Niech funkcja \(\displaystyle{ f \in C\left( \left[ a,b\right] \right) }\) będzie wklęsła.
Rozważmy zadanie aproksymacji tej funkcji wielomianami z \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{1}\left[ x\right] }\). Wykazać, że alternans dla \(\displaystyle{ f}\) składa się z \(\displaystyle{ 3}\) punktów, z czego dwa z nich to \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), a trzeci leży w przedziale otwartym \(\displaystyle{ \left( a,b\right) }\).
Aproksymacja funkcji wklęsłej
-
TorrhenMathMeth
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedliska
- Podziękował: 19 razy
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Aproksymacja funkcji wklęsłej
Niech wielomian \(\displaystyle{ \omega(x) \in R_{1}[x] }\) i funkcja \(\displaystyle{ f \in\CC[(a,b] }\) jest funkcją wklęsłą.
Zadanie na zastosowanie twierdzenia o alternansie.
Wielomian \(\displaystyle{ \omega }\) jest \(\displaystyle{ n }\) - tym wielomianem optymalnym, \(\displaystyle{ n = 1 }\) w sensie aproksymacji jednostajnej na przedziale \(\displaystyle{ [ a, b ] }\) dla funkcji \(\displaystyle{ f }\) wypukłej lub wklęsłej wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją punkty \(\displaystyle{ (x_{i}) }\) takie, że zachodzą równości:
\(\displaystyle{ f(x_{i}) - \omega(x_{i}) = (-1)^{i} \parallel f - \omega \parallel , \ \ 0\leq i \leq n. }\)
Z twierdzenia tego wynika , że dla trzech punktów \(\displaystyle{ (a, c, b) }\) - alternansu, aby wielomiam \(\displaystyle{ \omega }\) był wielomianem optymalnym pierwszego stopnia funkcji \(\displaystyle{ f }\) wklęsłej w sensie aproksymacji jednostajnej, muszą zachodzić równości:
\(\displaystyle{ f(a) -\omega (a) = (-1)^0 \parallel f(a)- \omega(a) \parallel = \parallel f(a)- \omega(a) \parallel }\)
\(\displaystyle{ f(c) -\omega(c) = (-1)^1 \parallel f(c) - \omega(c) \parallel = -\parallel f(c) - \omega(c) \parallel }\)
\(\displaystyle{ f(b) -\omega(b) = (-1)^2 \parallel f(b) - \omega(b) \parallel = \parallel f(b) - \omega(b) \parallel. }\)
czyli dla alternansu \(\displaystyle{ (a, b, c) }\) norma musi być osiągana z naprzemiennymi znakami.
Ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy punkt \(\displaystyle{ c\in (a, b). }\)
c.n.d.
Patrz na przykład:
David Kincaid, Ward Cheney. analiza numeryczna. WNT. Warszawa 2006.
Wiesław Pleśniak. Wykłady z teorii aproksymacji. Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego Kraków 2000.
Zadanie na zastosowanie twierdzenia o alternansie.
Wielomian \(\displaystyle{ \omega }\) jest \(\displaystyle{ n }\) - tym wielomianem optymalnym, \(\displaystyle{ n = 1 }\) w sensie aproksymacji jednostajnej na przedziale \(\displaystyle{ [ a, b ] }\) dla funkcji \(\displaystyle{ f }\) wypukłej lub wklęsłej wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją punkty \(\displaystyle{ (x_{i}) }\) takie, że zachodzą równości:
\(\displaystyle{ f(x_{i}) - \omega(x_{i}) = (-1)^{i} \parallel f - \omega \parallel , \ \ 0\leq i \leq n. }\)
Z twierdzenia tego wynika , że dla trzech punktów \(\displaystyle{ (a, c, b) }\) - alternansu, aby wielomiam \(\displaystyle{ \omega }\) był wielomianem optymalnym pierwszego stopnia funkcji \(\displaystyle{ f }\) wklęsłej w sensie aproksymacji jednostajnej, muszą zachodzić równości:
\(\displaystyle{ f(a) -\omega (a) = (-1)^0 \parallel f(a)- \omega(a) \parallel = \parallel f(a)- \omega(a) \parallel }\)
\(\displaystyle{ f(c) -\omega(c) = (-1)^1 \parallel f(c) - \omega(c) \parallel = -\parallel f(c) - \omega(c) \parallel }\)
\(\displaystyle{ f(b) -\omega(b) = (-1)^2 \parallel f(b) - \omega(b) \parallel = \parallel f(b) - \omega(b) \parallel. }\)
czyli dla alternansu \(\displaystyle{ (a, b, c) }\) norma musi być osiągana z naprzemiennymi znakami.
Ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy punkt \(\displaystyle{ c\in (a, b). }\)
c.n.d.
Patrz na przykład:
David Kincaid, Ward Cheney. analiza numeryczna. WNT. Warszawa 2006.
Wiesław Pleśniak. Wykłady z teorii aproksymacji. Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego Kraków 2000.