Układ równań metodą Newtona−Raphsona

[zaliczenie14]

Stosując metodę Newtona−Raphsona znaleźć rozwiązanie układu równań nieliniowych:
a) przybliżone \(\displaystyle{ E=\left| f_{i}( x, y ) , E<0,3 \right| }\)
b) dokładne \(\displaystyle{ ( f_{i}( x, y )=0)}\)

\begin{cases} f_{1}= x^{2}+ y^{2}=5 \\ f_{2}= x^{2}- y^{2}=-3 \end{cases}

Chciałem zapytać jak wyznaczyć \(\displaystyle{ x^{0}}\) , bo bez tego chyba nie da się policzyć ?

Dodano po 22 godzinach 23 minutach 9 sekundach:
Czy wartość startową można wyznaczyć rysując linie o podanych równaniach?
W ten sposbób:

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/r6I1RkO

?

[janusz47]

Metoda Newtona -Raphsona rozwiązywania układu równań \(\displaystyle{ F(X) = 0 }\) polega na

1. Przyjęciu rozwiązania początkowego \(\displaystyle{ X_{0} }\)

Dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,... }\)

2. Obliczeniu jakobianu \(\displaystyle{ J_{k} = F_{X}(X_{k}) }\)

3. Obliczeniu wartości \(\displaystyle{ F(X_{k})}\)

4.Rozwiązaniu równania \(\displaystyle{ J_{k}\xi_{k} = -F(X_{k}) }\)

5. Znalezieniu rozwiązania układu równań \(\displaystyle{ X_{k+1} = X_{k} + \xi_{k} }\)

6.Zastopowania iteracji, gdy \(\displaystyle{ \parallel X_{k+1} - X_{k} \parallel < \varepsilon, \ \ \varepsilon - }\) błąd obliczeń.
........................................................................................................................................................................
1. \(\displaystyle{ X_{0} = \left [ \begin{matrix} 0,5; \ \ 0,5 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ F(X) =\left[\begin{matrix} F_{1}(X) \\ F_{2}(X) \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} x_{1}^2 + x_{2}^2 - 5 \\ x_{1}^2 -x_{2}^2 +3 \end{matrix} \right ] }\)

2. \(\displaystyle{ F_{X} = \left[ \begin{matrix} 2x_{1} & 2x_{2} \\ 2x_{1} & -2x_{2} \end{matrix} \right] }\)

3. \(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] }\)

4. \(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \cdot \xi_{0} = \left[ \begin{matrix} 4,5 \\ -3 \end{matrix} \right] }\)

5. \(\displaystyle{ X_{1} = \left[ \begin{matrix} 0,5 + 0,75 = 1,25 \\ 0,5 + 3,25 = 3,75 \end{matrix}\right]}\)
...............................................................................................................................................................................
\(\displaystyle{ X_{1} = \left[ \begin{matrix} 1,25 \\ 3,75 \end{matrix}\right]}\)
...................

Można wykorzystać rozkład \(\displaystyle{ PLU }\) do jednorazowego obliczenia wartości jakobianu

Procedura ta w MATLAB - OCTAVE jest następująca

\(\displaystyle{ x = [.5 ; .5] ; }\)

\(\displaystyle{ [Fx, DFx] = fun(x)}\)

\(\displaystyle{ [ L U ] = lu( Dfx ) ; }\)

\(\displaystyle{ for \ \ k = 1: 20 }\)

\(\displaystyle{ Fx = fun(x) ; }\)

\(\displaystyle{ xx = -(U\setminus(L\setminus Fx)) ;}\)

\(\displaystyle{ x = x +xx }\)

\(\displaystyle{ if \ \ norm(x) < 3.e^ -14, \ \ break, \ \ end }\)

\(\displaystyle{ end }\)