Post
autor: janusz47 » 7 sie 2020, o 23:07
Metoda Newtona -Raphsona rozwiązywania układu równań \(\displaystyle{ F(X) = 0 }\) polega na
1. Przyjęciu rozwiązania początkowego \(\displaystyle{ X_{0} }\)
Dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,... }\)
2. Obliczeniu jakobianu \(\displaystyle{ J_{k} = F_{X}(X_{k}) }\)
3. Obliczeniu wartości \(\displaystyle{ F(X_{k})}\)
4.Rozwiązaniu równania \(\displaystyle{ J_{k}\xi_{k} = -F(X_{k}) }\)
5. Znalezieniu rozwiązania układu równań \(\displaystyle{ X_{k+1} = X_{k} + \xi_{k} }\)
6.Zastopowania iteracji, gdy \(\displaystyle{ \parallel X_{k+1} - X_{k} \parallel < \varepsilon, \ \ \varepsilon - }\) błąd obliczeń.
........................................................................................................................................................................
1. \(\displaystyle{ X_{0} = \left [ \begin{matrix} 0,5; \ \ 0,5 \end{matrix} \right] }\)
\(\displaystyle{ F(X) =\left[\begin{matrix} F_{1}(X) \\ F_{2}(X) \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} x_{1}^2 + x_{2}^2 - 5 \\ x_{1}^2 -x_{2}^2 +3 \end{matrix} \right ] }\)
2. \(\displaystyle{ F_{X} = \left[ \begin{matrix} 2x_{1} & 2x_{2} \\ 2x_{1} & -2x_{2} \end{matrix} \right] }\)
3. \(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] }\)
4. \(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \cdot \xi_{0} = \left[ \begin{matrix} 4,5 \\ -3 \end{matrix} \right] }\)
5. \(\displaystyle{ X_{1} = \left[ \begin{matrix} 0,5 + 0,75 = 1,25 \\ 0,5 + 3,25 = 3,75 \end{matrix}\right]}\)
...............................................................................................................................................................................
\(\displaystyle{ X_{1} = \left[ \begin{matrix} 1,25 \\ 3,75 \end{matrix}\right]}\)
...................
Można wykorzystać rozkład \(\displaystyle{ PLU }\) do jednorazowego obliczenia wartości jakobianu
Procedura ta w MATLAB - OCTAVE jest następująca
\(\displaystyle{ x = [.5 ; .5] ; }\)
\(\displaystyle{ [Fx, DFx] = fun(x)}\)
\(\displaystyle{ [ L U ] = lu( Dfx ) ; }\)
\(\displaystyle{ for \ \ k = 1: 20 }\)
\(\displaystyle{ Fx = fun(x) ; }\)
\(\displaystyle{ xx = -(U\setminus(L\setminus Fx)) ;}\)
\(\displaystyle{ x = x +xx }\)
\(\displaystyle{ if \ \ norm(x) < 3.e^ -14, \ \ break, \ \ end }\)
\(\displaystyle{ end }\)