Rząd zbieżności metoda Newtona

[aneta909811]

Zbadaj rząd zbieżności metody Newtona oraz obszar zbieżności tej metody do \(\displaystyle{ x^{*}=3}\) dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\left( x-3\right)^{2}e^{x}}\).

[janusz47]

\(\displaystyle{ f(x) = (x-3)^2 e^{x} }\)

\(\displaystyle{ f'(x) = 2(x-3)e^{x} + (x-3)^2e^{x} = (x-3)\cdot e^{x} [2 +(x-3)] = (x-3)(x-1)e^{x} = (x^2 -4x +3)e^{x} = [(x-2)^2 -1]e^{x} }\)

\(\displaystyle{ f^{''}(x) = (2x-4)e^{x} + (x^2 -4x +3)e^{x} =[2x -4 +x^2 -4x +3] e^{x} = [ x^2-2x -1]e^{x} = [(x-1)^2 -2]e^{x} }\)


Zauważmy, że liczba \(\displaystyle{ x^{*} = 3 }\) jest miejscem zerowym zarówno funkcji \(\displaystyle{ f(x) }\) jak i jej pierwszej pochodnej \(\displaystyle{ f^{'}(x)}\) .

Mówimy o podwójnym zero. Iteracje metody Newtona dla tego przypadku są zbieżne liniowo,( a nawet według niektórych podręczników analizy numerycznej, czy metod numerycznych) superliniowo - rząd (wykładnik) zbieżności metody \(\displaystyle{ p = 1. }\)

\(\displaystyle{ |e_{k+1}| \leq A |e_{k}|, \ \ A = const. }\)

Obszar (kula) zbieżności metody

Dla metody Newtona

\(\displaystyle{ r \geq \frac{f^{'}(x^{*})}{f^{''}(x^{*})} }\)

\(\displaystyle{ r \geq \frac{[(3-2)^2-1]e^{3}}{[(3-1)^2-2]e^{3}}= 0 }\)

\(\displaystyle{ 0 \leq r \leq 3. }\)