Dobre uwarunkowanie
-
aneta909811
- Użytkownik
- Posty: 262
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 69 razy
Dobre uwarunkowanie
Dla ustalonego \(\displaystyle{ y \in \RR^{n}}\) oblicz uwarunkowanie zadania \(\displaystyle{ y^{T}x}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR^{n}}\). Kiedy jest to zadanie dobrze uwarunkowane?
Ostatnio zmieniony 22 mar 2020, o 20:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Dobre uwarunkowanie
Numeryczne uwarunkowanie zadania, to parametr pozwalający ocenić wpływ niewielkich zmian (zaburzeń) parametrów wejściowych na wynik końcowy.
W zadaniu mamy doczynienia z iloczynem skalarnym (mnożeniem skalarnym) dwóch wektorów \(\displaystyle{ \vec{x}= [x_{1},x_{2},...,x_{n}], \ \ \vec{y}= [y_{1},y_{2},..., y_{n}] }\) w \(\displaystyle{ \RR^{n} }\)
W celu określenia wskaźnika uwarunkowania zadania \(\displaystyle{ cond(\vec{x}, \vec{y}) }\) tego działania, wykonujemy mnożenie skalarne tych wektorów dla nieco zaburzonych danych i badamy wpływ tych zaburzeń na wynik końcowy.
\(\displaystyle{ \left|\frac{\sum_{i=1}^{n} y_{i}(1 +\varepsilon_{i}) x_{i} (1+ \gamma_{i}) - \sum_{i=1}^{n} y_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}}\right|}\)
Zakładamy, że iloczyny zaburzeń \(\displaystyle{ \varepsilon_{i} \gamma_{i} }\) są na tyle małe, że możemy je zaniedbać.
\(\displaystyle{ \approx \left|\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} ( \varepsilon_{i} + \gamma_{i}) }{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}}\right|\leq \max_{i=1,2...n} |\varepsilon_{i}+\gamma_{i}|\frac{\sum_{i=1}^{n} |x_{i} y_{i}|} {|\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}|} = \max_{i =1,2...,n}|\varepsilon_{i}+\gamma_{i}| cond(\vec{x}, \vec{y}).}\)
\(\displaystyle{ cond(\vec{x}, \vec{y}) = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_{i} y_{i}|} {|\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}|} }\) - wskaźnik uwarunkowania zadania (największy błąd przenosi się z tym mnożnikiem)
To zadanie jest dobrze uwarunkowane wtedy, gdy w wyniku mnożenia wszystkie składniki iloczynów mają taki sam znak, gdy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} > >0 }\).
W zadaniu mamy doczynienia z iloczynem skalarnym (mnożeniem skalarnym) dwóch wektorów \(\displaystyle{ \vec{x}= [x_{1},x_{2},...,x_{n}], \ \ \vec{y}= [y_{1},y_{2},..., y_{n}] }\) w \(\displaystyle{ \RR^{n} }\)
W celu określenia wskaźnika uwarunkowania zadania \(\displaystyle{ cond(\vec{x}, \vec{y}) }\) tego działania, wykonujemy mnożenie skalarne tych wektorów dla nieco zaburzonych danych i badamy wpływ tych zaburzeń na wynik końcowy.
\(\displaystyle{ \left|\frac{\sum_{i=1}^{n} y_{i}(1 +\varepsilon_{i}) x_{i} (1+ \gamma_{i}) - \sum_{i=1}^{n} y_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}}\right|}\)
Zakładamy, że iloczyny zaburzeń \(\displaystyle{ \varepsilon_{i} \gamma_{i} }\) są na tyle małe, że możemy je zaniedbać.
\(\displaystyle{ \approx \left|\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} ( \varepsilon_{i} + \gamma_{i}) }{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}}\right|\leq \max_{i=1,2...n} |\varepsilon_{i}+\gamma_{i}|\frac{\sum_{i=1}^{n} |x_{i} y_{i}|} {|\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}|} = \max_{i =1,2...,n}|\varepsilon_{i}+\gamma_{i}| cond(\vec{x}, \vec{y}).}\)
\(\displaystyle{ cond(\vec{x}, \vec{y}) = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_{i} y_{i}|} {|\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}|} }\) - wskaźnik uwarunkowania zadania (największy błąd przenosi się z tym mnożnikiem)
To zadanie jest dobrze uwarunkowane wtedy, gdy w wyniku mnożenia wszystkie składniki iloczynów mają taki sam znak, gdy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} > >0 }\).