Dzień dobry,
czy mógłby ktoś dokładnie wytłumaczyć jak rozwiązać te zadania:
1. Współczynnik \(\displaystyle{ A _{1} }\) i węzeł \(\displaystyle{ x _{1} }\) kwadratury interpolacyjnej \(\displaystyle{ K(f)=\frac{3}{2}f(2) + A_{1}f(x_{1}) }\)
służącej do obliczania całki w granicach całkowania od 2 do 5 z funkcji \(\displaystyle{ f(x) }\) są równe?
2. Współczynnik \(\displaystyle{ A _{1} }\) kwadratury interpolacyjnej \(\displaystyle{ K(f)=A_{0}f(-3) + A_{1}f(0)+A_{2}f(3) }\) służącej do obliczania całki w granicach całkowania od -3 do 3 z funkcji f(x) jest równy?
3. Wykazać, że suma współczynników \(\displaystyle{ A_{i}, i=0,1,...,n }\) kwadratury interpolacyjnej \(\displaystyle{ K_{n}(f)}\) służącej do obliczania całki z funkcji \(\displaystyle{ f(x) }\) w granicach całkowania od a do b jest równa długości przedziału całkowania.
Kwadratura interpolacyjna
-
Czebyszew+
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 11 lut 2020, o 14:00
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Kwadratura interpolacyjna
1.
Porównując kwadraturę interpolacyjną \(\displaystyle{ \mathcal{K}(f) }\) opartą na dwóch węzłach interpolacyjnych (kwadraturę prostokątów)
\(\displaystyle{ \mathcal{K}^{P}(f) = \frac{b-a}{2}\left( f(a) + f(b)\right) }\)
z kwadraturą podaną w treści zadania i granicami przybliżanej całki, stwierdzamy, że \(\displaystyle{ x_{1}= 5, \ \ \frac{b-a}{2}= \frac{5-2}{2}= \frac{3}{2} = A_{1}. }\)
2.
Porównując kwadraturę interpolacyjną opartą na trzech węzłach interpolacyjnych (kwadraturę parabol -Simpsona)
\(\displaystyle{ \mathcal{K}^{S}(f) = \frac{b-a}{6} \left( f(a) + 4 f \left(\frac{a+b}{2} \right ) + f(b) \right) }\)
z kwadraturą podaną w treści zadania i granicami przybliżanej całki widzimy, że
\(\displaystyle{ \frac{b-a}{6} = \frac{3-(-3)}{6} =\frac{3+3}{6} =\frac{6}{6}=1 }\) i \(\displaystyle{ A_{1} = 4. }\)
3.
Uwzględniając postać kwadratury interpolacyjnej Newtona-Cotesa, opartej na \(\displaystyle{ n }\) węzłach interpolacyjnych
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)dx \approx \sum_{i=0}^{n} A_{i} f(x_{i}) }\)
gdzie
\(\displaystyle{ A_{i} = \int_{a}^{b} L_{i}(x) dx }\)
\(\displaystyle{ L_{i} }\) - jest wielomianem Lagrange'a opartym na \(\displaystyle{ i - }\) tym węźle interpolacyjnym,
mamy
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} A_{i} = \sum_{i=0}^{n} \int_{a}^{b} L_{i}(x) dx = \int_{a}^{b}\sum_{i=0}^{n} L_{i}(x)dx = \int_{a}^{b}1dx = b-a }\)
c.b.d.o.
Porównując kwadraturę interpolacyjną \(\displaystyle{ \mathcal{K}(f) }\) opartą na dwóch węzłach interpolacyjnych (kwadraturę prostokątów)
\(\displaystyle{ \mathcal{K}^{P}(f) = \frac{b-a}{2}\left( f(a) + f(b)\right) }\)
z kwadraturą podaną w treści zadania i granicami przybliżanej całki, stwierdzamy, że \(\displaystyle{ x_{1}= 5, \ \ \frac{b-a}{2}= \frac{5-2}{2}= \frac{3}{2} = A_{1}. }\)
2.
Porównując kwadraturę interpolacyjną opartą na trzech węzłach interpolacyjnych (kwadraturę parabol -Simpsona)
\(\displaystyle{ \mathcal{K}^{S}(f) = \frac{b-a}{6} \left( f(a) + 4 f \left(\frac{a+b}{2} \right ) + f(b) \right) }\)
z kwadraturą podaną w treści zadania i granicami przybliżanej całki widzimy, że
\(\displaystyle{ \frac{b-a}{6} = \frac{3-(-3)}{6} =\frac{3+3}{6} =\frac{6}{6}=1 }\) i \(\displaystyle{ A_{1} = 4. }\)
3.
Uwzględniając postać kwadratury interpolacyjnej Newtona-Cotesa, opartej na \(\displaystyle{ n }\) węzłach interpolacyjnych
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)dx \approx \sum_{i=0}^{n} A_{i} f(x_{i}) }\)
gdzie
\(\displaystyle{ A_{i} = \int_{a}^{b} L_{i}(x) dx }\)
\(\displaystyle{ L_{i} }\) - jest wielomianem Lagrange'a opartym na \(\displaystyle{ i - }\) tym węźle interpolacyjnym,
mamy
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} A_{i} = \sum_{i=0}^{n} \int_{a}^{b} L_{i}(x) dx = \int_{a}^{b}\sum_{i=0}^{n} L_{i}(x)dx = \int_{a}^{b}1dx = b-a }\)
c.b.d.o.