Matematyka.pl

Dla danych argumentów \(\displaystyle{ x_{k} = \left\{ -2, -1, 1, 2\right\} }\),
oraz odpowiadających im wartości \(\displaystyle{ y_{k} = \left\{ -2, -1, 3, 6\right\} }\) dla \(\displaystyle{ k = 0, 1, 2, 3}\)
znajdź funkcję sklejaną trzeciego stopnia (NIFS3).
Niech ta funkcja nazywa się \(\displaystyle{ s(x)}\).
Po rozpisaniu warunków, czyli
\(\displaystyle{ s(x _{k}) = y _{k} }\)
\(\displaystyle{ s, s', s''}\) są ciągłe na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x _{0}, x _{n} \right] }\)
oraz \(\displaystyle{ s''(x _{0}) = s''(x _{n}) = 0 }\)
wychodzi dość spory układ równań, z którym mam problem, żeby go rozwiązać.
Czy istnieje inne podejście do tego problemu? Zastanawiałem się nad sklejeniem po pierwszych trzech punktach i doklejeniu ostatniego, ale z tego wyszła mi sprzeczność.
Błędy w obliczeniach, czy może brakuje mi jeszcze jakichś warunków?

Proponuję algorytm, wynikający z numerycznego rozwiązania macierzowego układu trójdiagonalnego.

1. Oblicz dla \(\displaystyle{ i = 0,1,2,..., n-1 }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} h_{i} = x_{i+1}- x_{i}\\ b_{i} = \frac{1}{h_{i}}(y_{i+1} -y_{i}) \end{cases} }\)

2. Podstaw

\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{1} = 2(h_{0} +h_{1})\\ v_{1} = 6(b_{1} -b_{0}) \end{cases} }\)

3. Oblicz kolejno dla \(\displaystyle{ i = 2,3,..., n-1 }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{i} = 2(h_{i} - h_{i-1}) - \frac{h^2_{i-1}}{u_{i-1}} \\ v_{i} = 6(b_{i} -b_{i-1}) - \frac{h_{i-1}\cdot v_{i-1}}{u_{i-1}} \end{cases} }\)

4. Podstaw

\(\displaystyle{ \begin{cases} z_{n}= 0 \\ z_{0} = 0 \end{cases} }\)

5. Oblicz kolejno dla \(\displaystyle{ i = n-1, n-2,...,1 }\)

\(\displaystyle{ z_{i} = \frac{v_{i} - h_{i}z_{i+1}}{u_{i}} }\)

6. Podstaw

\(\displaystyle{ B_{i} = -\frac{h}{6} z_{i+1} - \frac{ h_{i}}{3}z_{i} + \frac{1}{z_{i}}(y_{i+1}-y_{i}), }\)

\(\displaystyle{ S_{i}(x) = y_{i} + (x-x_{i}) \left(B_{i} + (x-x_{i})\left( \frac{z_{i}}{2} + \frac{1}{6h_{i}}(x -x_{i})(z_{i+1}-z_{i}\right) \right), \ \ i = 0,1,2,...,n-1.}\)