Odwrotność aproksymacji - szukanie parametrów funkcji

[Ziomek_89]

Witam wszystkich,

mam otóż taki problem... powiedźmy, że mam funkcję złożoną, opisaną z kilku parametrów \(\displaystyle{ f(x,a,b,c,d,e)}\). Za pomocą tej funkcji potrafię empirycznie dojść do takie stanu, że w zakresie od \(\displaystyle{ -x_{c}}\) do \(\displaystyle{ +x_{c}}\) jest ona podobna do wielomianu czebyszewa n-tego stopnia (np. 3-ego), a właściwie taka sama. Poza tym zakresem - funkcja może przyjmować dowolne wartości. Teraz pytanie - jak ugryźć wyprowadzenie poszczególnych parametrów funkcji \(\displaystyle{ f(x,a,b,c,d,e)}\) jeśli wiem, że aproksymacją mojej funkcji jest wielomian czebyszewa ? Pierwsze co mi przychodzi do głowy to porównanie obu, natomiast trzeba by to zrobić dla każdej wartości \(\displaystyle{ x}\) , prawda ? To już mi ciutke pachnie metodami numerycznymi ale chce się upewnić czy nie istnieje inna metoda.

Pozdrawiam,
E.

[janusz47]

Co to są poszczególne parametry funkcji \(\displaystyle{ f ? }\)

[Ziomek_89]

Ogólnie chodzi mi tutaj np. o funkcję transmitancji spotykaną w układach automatyki, która zawiera w sobie dziedzinę x i parametry wpływające na kształt. Chodzi mi np. o coś takiego (przykład totalnie z czapy):
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{a \cdot cos ^{3} (x)+c \cdot tan(x)}{d \cdot cos ^{2} (x)+d \cdot atan(x)} }\)

Mając powyższą funkcję, która wynika niejako z syntezy układu i znając zachowanie wielomianu czebyszewa - mając jego wzór analityczny - chciałbym znaleźć takie parametry a, b, c, d, które spowodują, że funkcja będzie wyglądała tak jak wspomniany wielomian w pewnym zakresie. To pytanie wzięło się z tego, że po ostatnich zabawach układami automatyki zauważyłem, że empirycznie za pomocą symulacji da się znaleźć takie parametry, natomiast nie koniecznie wiem jak to zrobić stricte analitycznie - matematycznie.

Mam nadzieje, że nie namieszałem zbytnio

[janusz47]

W praktyce do obliczenia współczynników \(\displaystyle{ a, b, c, d }\) transmitancji \(\displaystyle{ f }\) stosuje się rozwinięcie funkcji \(\displaystyle{ f }\) w szereg Fouriera względem wielomianów Czebyszewa

\(\displaystyle{ f(x) \approx \sum_{k=0}^{n} \alpha_{k} T_{k} }\)

gdzie

\(\displaystyle{ \alpha_{0} = \frac{1}{\pi} \int_{-1}^{1}f(x) T_{0}(x) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx, }\)

\(\displaystyle{ \alpha_{k} = \frac{2}{\pi} \int_{-1}^{1}f(x) T_{k}(x) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx, \ \ k =1,2,...,n, }\)

uwzględniając błąd aproksymacji

\(\displaystyle{ \parallel f - \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k} T_{k} \parallel \leq \left( \frac{4}{\pi^2} \ln(n) +2,44\right) E_{n}(f). }\)

[Ziomek_89]

Chyba do końca nie rozumiem.... Czy ta metoda o której wspomniałeś nie powoduje przybliżenia wielomianem czebyszewa funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) ? W jaki sposób można z niej wyznaczyć współczynniki funkcji, ponieważ do końca tego nie widzę...

Mnie chodzi o to, że mam pewne równanie \(\displaystyle{ f(x)}\) opisujące zachowanie jakiegoś systemu automatyki, który jest parametryzowany przez stałe a,b,c,d - dobieram je sobie empirycznie, eksperymentalnie żeby w podanym zakresie wyszły mi np. dwa miejsca zerowe. Z drugiej strony, widzę jawne podobieństwo w tym zakresie (po pewnym przeskalowaniu) do charakterystyki wielomianu czebyszewa \(\displaystyle{ T_{n}(x)}\), którego wszystkie parametry potrafię wyznaczyć analitycznie - kontrolowanie. No i właśnie logiczne wydawało mi się porównanie tych dwóch funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = T_{n}(x)}\), a następnie oszacowanie współczynnika np. \(\displaystyle{ c }\) zakładając, że \(\displaystyle{ a,b,d}\) mogą być stałe. Gdyby to mi się udało zrobić to dążyłbym do ogólnego sposobu wyznaczenia poszczególnych parametrów. Czy mógłbyś rozwinąć swoją myśl ?

[janusz47]

Szacujemy wartość każdego współczynnika transmitancji z osobna, zakładając że pozostałe są stałe za pomocą szeregu Fouriera z wielomianami Czebyszewa, uwzględniając błąd aproksymacji.

Bezpośrednie porównywanie funkcji \(\displaystyle{ f }\) z wielomianem Czebyszewa odpowiedniego rzędu jest możliwe tylko dla niektórych postaci funkcji i daje duży błąd przybliżenia.

Dodano po 36 minutach 52 sekundach:
Wielkość tego błędu zależy od postaci funkcji transmitancji.

[Ziomek_89]

Rozumiem, że współczynniki transmitancji \(\displaystyle{ a _{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}}\) odpowiadają wspomnianym przeze mnie parametrom a,b,c,d. Jeśli tak to wydaje mi się, że zrozumiałem - dziękuję Zastanawia mnie w takim razie inna kwestia - czy takie podejście może być zastosowane w przypadku, w którym mamy do czynienia z dowolną funkcją wymierną ? Powiedźmy, że mamy taką funkcję: \(\displaystyle{ f(x)= \frac{a \cdot b \cdot sin(x)+ \frac{1}{c} \cdot tan(x) }{c \cdot sin(x)-c \cdot d} }\) No i właśnie - parametry a,b,c,d mogę oszacować w taki sam sposób ?

[janusz47]

To nie jest funkcja wymierna. Funkcją wymierną \(\displaystyle{ W }\) nazywamy taką funkcję, która jest ilorazem wielomianów

\(\displaystyle{ W(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \ \ Q(x)\neq 0. }\)

Taki wzór funkcji \(\displaystyle{ f }\) należałoby by najpierw przekształcić, podstawiając \(\displaystyle{ \tan(x) = \frac{sin x}{\cos x} }\) i przedstawiając ją w postaci sumy dwóch ułamków zawierających funkcje trygonometryczne sinusa i kosinusa starać się aproksymować.

[Ziomek_89]

Racja - mój błąd. Natomiast hmmm... W jaki sposób za pomocą aproksymacji mogę wyznaczyć wartości stałych parametrów w funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) ? Wpadł mi jeszcze jeden pomysł związany z wyliczaniem wartości dla charakterystycznych punktów obu funkcji - dla konkretnych wartości \(\displaystyle{ x }\) odpowiadających miejscom zerowym dla wielomianu czebyszewa i rozpatrywanej funkcji. Problem jest tylko taki, że nie wiem jak to potem posklejać bo np dla trzech miejsc zerowych mogę uzyskać trzy, różne wartości parametrów \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) ...

[janusz47]

Pomysł prostszy. Zamiast rozwinięcia w szereg Fouriera, można skonstruować wielomiany interpolacyjne oparte na węzłach równych pierwiastkom wielomianów Czebyszewa.

Dokładniej prawdziwe jest następujące twierdzenie (Blum E. Numerical Analysis and Computation . Reading Mass Addison Wesley 1972)

Niech \(\displaystyle{ w_{n} }\) będzie wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a funkcji \(\displaystyle{ f \in C_{[-1,1]} }\) opartym na węzłach będących pierwiastkami \(\displaystyle{ (n+1) }\) -go wielomianu Czebyszewa \(\displaystyle{ T_{n+1} }\) tj. punktach \(\displaystyle{ x_{k} = \cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n+2}\right), \ \ k=1,2,..., n+1,}\)

Spełnia on nierówność:

\(\displaystyle{ \parallel f - w_{n} \parallel c_{n} E_{n}(f) }\)

gdzie

\(\displaystyle{ c_{n} \leq 4 }\) dla \(\displaystyle{ n\leq 20, \ \ c_{n}\leq 5 }\) dla \(\displaystyle{ n \leq 100. }\)

Opisane powyżej metody przybliżania funkcji wielomianami Czebyszewa"dobrze" aproksymującymi dotyczą dowolnych odcinków \(\displaystyle{ [a, b]. }\)

Wystarczy dokonać liniowej zamiany (transformacji) zmiennej.

Dodano po 1 godzinie 3 minutach 17 sekundach:
\(\displaystyle{ \parallel f - w_{n} \parallel \leq c_{n} E_{n}(f) }\)

[Ziomek_89]

Dziękuję ci za odpowiedź i za wyprowadzenie. Mam jedno pewnie glupie pytanie - jak rozumieć "Wystarczy dokonać liniowej zamiany (transformacji) zmiennej." Mógłbyś napisać o co dokładnie chodzi, ewentualnie podać jakieś źródło gdzie mógłbym o tym poczytać? Pewnie chodzi o coś banalnego ale chciałem się upewnić o co ci chodzi.

[janusz47]

Liniowa transformacja przedziału \(\displaystyle{ [c, \ \ d ] }\) na przedział \(\displaystyle{ [ a,\ \ b] }\) polega na znalezieniu takiego przekształcenia liniowego, które każdemu punktowi należącemu do przedziału \(\displaystyle{ [c,\ \ d ] }\) przyporządkowuje punkt należący do przedziału \(\displaystyle{ [a,\ \ b ]. }\)

Można wykazać, że funkcja

\(\displaystyle{ f(x) = c + \frac{d-c}{b-a} (x-a), \ \ d - c < b- a, }\)

odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie przedział \(\displaystyle{ [a,\ \ b ] }\) na przedział \(\displaystyle{ [c,\ \ d]. }\)