Ekstremala funkcjonału - F zależy tylko od y'

[cytrynka114]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Znajdź ekstremale funkcjonału:
\(\displaystyle{ \int_{3}^{1} (y'(1+ x^{2} y')dx}\)

[Janusz Tracz]

Jakiś dziwny ten przedział całkowania, na pewno tak miało to wyglądać? W zadaniu można skorzystać z

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnania_Eulera-Lagrange%E2%80%99a

. Funkcją Lagrange’a jest:

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left( y,y',x\right)=y'+ x^{2} y'^2}\)

kładąc to do równania dostajemy

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( \frac{ \partial \mathcal{L}}{ \partial y'} \right) = \frac{ \partial \mathcal{L}}{ \partial y}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( 1+2x^2y'\right) =0}\)

oznacza to, że

\(\displaystyle{ x^2y'=C_1}\)

czyli

\(\displaystyle{ y(x)=- \frac{C_1}{x}+C_2}\)

Co można zapisać ze względy na dowolność stałych jako

\(\displaystyle{ y(x)= \frac{C_1}{x}+C_2}\)

kładąc warunki początkowe wyznaczysz \(\displaystyle{ C_1,C_2}\)

[cytrynka114]

Oczywiście przedział całkowania jest odwrotnie:

\(\displaystyle{ \int_{1}^{3} (y'(1+x^2y')dx}\)


A dlaczego nie piszę, że:
\(\displaystyle{ 1+2x^2y'=C}\)?-- 16 cze 2019, o 14:51 --A jeszcze co się dzieje, jezeli F nie zależy od x?

[Janusz Tracz]

A dlaczego nie piszę, że:
\(\displaystyle{ 1+2x^2y'=C}\)?

Bo to jest to samo tylko, że dłużej. Aby \(\displaystyle{ 1+2x^2y'}\) było stałe potrzebne jest by \(\displaystyle{ x^2y'}\) było stałe. Mnożenia stałej przez \(\displaystyle{ 2}\) i dodanie \(\displaystyle{ 1}\) nie zmieni faktu stałości tego wyrażania. Innymi słowy:

\(\displaystyle{ 1+2x^2y'=\text{stała}}\)

\(\displaystyle{ 2x^2y'=\text{stała}-1}\)

\(\displaystyle{ x^2y'= \frac{\text{stała}-1}{2}=\text{ inna stała}}\)

A jeszcze co się dzieje, jeżeli \(\displaystyle{ F}\) nie zależy od \(\displaystyle{ x}\)?

A czym jest \(\displaystyle{ F}\) bo nie wiem? Domyślam się, że funkcją Lagrange. Jeśli tak to, taki przypadek jest trochę bez sensu bo \(\displaystyle{ x}\) jest zmienną niezależną poza tym \(\displaystyle{ y=y(x)}\) więc zawsze funkcja Lagrange w jakiś sposób (być może nie jawny) od \(\displaystyle{ x}\) zależy.-- 16 cze 2019, o 17:01 --Ale pytanie jest jak najbardziej zasadne jak postawisz je w sposób jednoznaczny. Gdy funkcja Lagrange nie zależy w jawny sposób od \(\displaystyle{ x}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{ \partial \mathcal{L}}{ \partial x}=0}\) to można skorzystać ze zmodyfikowanej wersji równania Lagrange do

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Beltrami_identity

.

[cytrynka114]

Ok, dziękuję bardzo

Dokładnie o równania Beltraniego mi chodziło, ponieważ miałam na kolokwium zadanie:
Znajdź ekstremale funkcjonału

\(\displaystyle{ I= \int_{1}^{2}y'(1+x^2y')dx}\)
właśnie ze wskazówką że F nie zależy o d x