Zbieżność Metody Newtona

[cis123]

Do przybliżenia miejsca zerowego \(\displaystyle{ x^{*} = 2}\) funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=x \cdot \sin (x-2)}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=(x-2)^{5}}\)
zastosowano metodę Newtona.

1) Czy metoda będzie zbieżna lokalnie (tzn. dla \(\displaystyle{ x_{0}}\) dostatecznie bliskiego \(\displaystyle{ x^{*}}\)) dla obu funkcji? Jeśli tak, to określ rząd zbieżności.
2) Czy dla którejś funkcji metoda będzie zbieżna do \(\displaystyle{ x^{*}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x_{0} \ge 2}\)?

1) Czy warunkiem na zbieżność lokalną jest:
\(\displaystyle{ f(x^{*}) = 0}\) oraz \(\displaystyle{ f'(x^{*}) \neq 0}\)?

W takim razie \(\displaystyle{ g}\) nie jest zbieżna lokalnie bo \(\displaystyle{ g'(x^{*}) = 0}\) oraz \(\displaystyle{ f}\) jest zbieżna lokalnie. Nie potrafię jednak wyznaczyć rzędu tej zbieżności. Jakieś wskazówki?

2) Łatwo pokazać, że dla \(\displaystyle{ g}\) mamy \(\displaystyle{ \left| x_{n+1} - x^{*}\right| = \frac{4}{5} \left| x_{n} - x^{*}\right|}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\), gdzie \(\displaystyle{ x^{*}}\) jest punktem stałym. Czy z tego wynika, że metoda jest zbieżna liniowo? (mimo, iż wcześniej pokazaliśmy brak zbieżności lokalnej? czy to jest wgl możliwe czy może ja gdzieś popełniłem błąd?)

Dla \(\displaystyle{ f}\) wydaje się, że metoda będzie zbieżna tylko dla niektórych przedziałów (patrząc kiedy wartość bezwględna z pochodnej będzie mniejsza od 1). Czy dobrze to rozumuję?

[janusz47]

cis123

Proszę wrócić do mojego wcześniejszego postu i uwzględnić funkcje \(\displaystyle{ f(x) = x\sin(x-2)}\) i \(\displaystyle{ g(x) = (x - 2)^5.}\)