Zbieżność Metody Newtona

Przybliżanie, metoda najmniejszych kwadratów, wielomiany interpolacyjne i inne.
cis123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 177
Rejestracja: 27 paź 2015, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 16 razy

Zbieżność Metody Newtona

Post autor: cis123 » 19 lut 2019, o 20:51

Do przybliżenia miejsca zerowego \(\displaystyle{ x^{*} = 2}\) funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=x \cdot \sin (x-2)}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=(x-2)^{5}}\)
zastosowano metodę Newtona.

1) Czy metoda będzie zbieżna lokalnie (tzn. dla \(\displaystyle{ x_{0}}\) dostatecznie bliskiego \(\displaystyle{ x^{*}}\)) dla obu funkcji? Jeśli tak, to określ rząd zbieżności.
2) Czy dla którejś funkcji metoda będzie zbieżna do \(\displaystyle{ x^{*}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x_{0} \ge 2}\)?

1) Czy warunkiem na zbieżność lokalną jest:
\(\displaystyle{ f(x^{*}) = 0}\) oraz \(\displaystyle{ f'(x^{*}) \neq 0}\)?

W takim razie \(\displaystyle{ g}\) nie jest zbieżna lokalnie bo \(\displaystyle{ g'(x^{*}) = 0}\) oraz \(\displaystyle{ f}\) jest zbieżna lokalnie. Nie potrafię jednak wyznaczyć rzędu tej zbieżności. Jakieś wskazówki?

2) Łatwo pokazać, że dla \(\displaystyle{ g}\) mamy \(\displaystyle{ \left| x_{n+1} - x^{*}\right| = \frac{4}{5} \left| x_{n} - x^{*}\right|}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\), gdzie \(\displaystyle{ x^{*}}\) jest punktem stałym. Czy z tego wynika, że metoda jest zbieżna liniowo? (mimo, iż wcześniej pokazaliśmy brak zbieżności lokalnej? czy to jest wgl możliwe czy może ja gdzieś popełniłem błąd?)

Dla \(\displaystyle{ f}\) wydaje się, że metoda będzie zbieżna tylko dla niektórych przedziałów (patrząc kiedy wartość bezwględna z pochodnej będzie mniejsza od 1). Czy dobrze to rozumuję?
Ostatnio zmieniony 20 lut 2019, o 00:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5539
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1213 razy

Zbieżność Metody Newtona

Post autor: janusz47 » 21 lut 2019, o 11:50

cis123

Proszę wrócić do mojego wcześniejszego postu i uwzględnić funkcje \(\displaystyle{ f(x) = x\sin(x-2)}\) i \(\displaystyle{ g(x) = (x - 2)^5.}\)

ODPOWIEDZ