Czołem,
To mój pierwszy post na tym forum, witam zatem wszystkich użytkowników serdecznie. Przygotowuje się do zaliczenia ostatniego egzaminu na studiach, a tym samym do pokonania "final bossa", stąd moja aktywność tutaj.
Na ostatnim egzaminie pojawiło się następujące zadanie i chciałbym rozwiać wątpliwości, czy wykonałem je dobrze, czy źle.
Zadanie brzmiało:
Przedstaw sygnał f(t) za pomocą Trygonometrycznego Szeregu Fouriera w postaci zwartej, naszkicuj widmo amplitudy i fazy.
Funkcja:
\(\displaystyle{ y=x, x \in \left\langle -5,-3\right\rangle, \left\langle -1,1\right\rangle, \left\langle 3,5\right\rangle,}\)
Ze względu na brak ciągłości funkcji, napisałem, iż nie spełnia ona warunku silnego Dirichleta. Czy była to dobra odpowiedź, czy owe zadanie powinienem rozwiązać inaczej?
Pozdrawiam
Maks
Aproksymacja sygnału a drugi warunek Dirichleta
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Aproksymacja sygnału a drugi warunek Dirichleta
Przedstaw swoje rozwiązanie.
Wykonujemy rysunek sygnału \(\displaystyle{ y(x) = x}\)na przedziale \(\displaystyle{ <-1, 1>}\) i przedłużamy na przedziały \(\displaystyle{ <-5, -3>}\) oraz \(\displaystyle{ < 3, 5 >.}\)
Sygnał jest funkcją nieparzystą, więc rozwijamy go w trygonometryczny szereg Fouriera według sinusów.
Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją okresową o okresie \(\displaystyle{ T = 2l= 1 - (-1) = 2, \ \ l=1.}\)
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{2}{1}\int_{0}^{1}x\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx +\frac{2}{1}\int_{4}^{5}x\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right )dx \ \ n =1,2,...,}\)
Sprawdzamy warunki Lejeune Dirichleta:
D1
W punktach ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) szereg Fouriera jest zbieżny do samej funkcji.
D2
W każdym punkcie \(\displaystyle{ x_{i}}\) nieciągłości funkcji szereg jest zbieżny do średniej arytmetycznej jednostronnych granic funkcji
\(\displaystyle{ S(x_{i}) =\frac{1}{2}\left[ \lim_{x\to x_{i}^{-}}f(x) + \lim_{x\to x_{i}^{+}}f(x)\right]}\)
D3
Na krańcach przedziału \(\displaystyle{ ... [-1, 1 ], \ \ [3, 5]}\) szereg jest zbieżny do średniej arytmetycznej jednostronnych. przy argumencie \(\displaystyle{ x}\) zmierzającym do tych punktów od wewnątrz przedziału:
\(\displaystyle{ S(-1) = S(1) = \frac{1}{2}\left[\lim_{ x\to -1^{+}} f(x) + \lim_{x\to 1^{-}}f(x) .\right]}\)
Wykonujemy rysunek sygnału \(\displaystyle{ y(x) = x}\)na przedziale \(\displaystyle{ <-1, 1>}\) i przedłużamy na przedziały \(\displaystyle{ <-5, -3>}\) oraz \(\displaystyle{ < 3, 5 >.}\)
Sygnał jest funkcją nieparzystą, więc rozwijamy go w trygonometryczny szereg Fouriera według sinusów.
Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją okresową o okresie \(\displaystyle{ T = 2l= 1 - (-1) = 2, \ \ l=1.}\)
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{2}{1}\int_{0}^{1}x\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx +\frac{2}{1}\int_{4}^{5}x\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right )dx \ \ n =1,2,...,}\)
Sprawdzamy warunki Lejeune Dirichleta:
D1
W punktach ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) szereg Fouriera jest zbieżny do samej funkcji.
D2
W każdym punkcie \(\displaystyle{ x_{i}}\) nieciągłości funkcji szereg jest zbieżny do średniej arytmetycznej jednostronnych granic funkcji
\(\displaystyle{ S(x_{i}) =\frac{1}{2}\left[ \lim_{x\to x_{i}^{-}}f(x) + \lim_{x\to x_{i}^{+}}f(x)\right]}\)
D3
Na krańcach przedziału \(\displaystyle{ ... [-1, 1 ], \ \ [3, 5]}\) szereg jest zbieżny do średniej arytmetycznej jednostronnych. przy argumencie \(\displaystyle{ x}\) zmierzającym do tych punktów od wewnątrz przedziału:
\(\displaystyle{ S(-1) = S(1) = \frac{1}{2}\left[\lim_{ x\to -1^{+}} f(x) + \lim_{x\to 1^{-}}f(x) .\right]}\)
Ostatnio zmieniony 6 lut 2019, o 09:44 przez janusz47, łącznie zmieniany 7 razy.
-
pasman
- Użytkownik
- Posty: 171
- Rejestracja: 26 lut 2016, o 17:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 14 razy
Aproksymacja sygnału a drugi warunek Dirichleta
czy to są trzy funkcje, czy jedna, dla której wartości w przedziałach \(\displaystyle{ \left\langle -3,-1\right\rangle}\), \(\displaystyle{ \left\langle 1,3\right\rangle}\) są dowolne ?Maks63 pisze:Czołem,
Funkcja:
\(\displaystyle{ y=x, x \in \left\langle -5,-3\right\rangle, \left\langle -1,1\right\rangle, \left\langle 3,5\right\rangle,}\)
Pozdrawiam
Maks
Aproksymacja sygnału a drugi warunek Dirichleta
Moja odpowiedź brzmiała: sygnał f(t) nie spełnia warunku silnego aproksymacji, gdyż jest nieciągły.
Obawiam się jednak, że źle przeanalizowałem kwestię granic, które najwidoczniej istnieją, mimo że sygnał jest przerywany.
Zadanie dosłownie wyglądało tak:
Obawiam się jednak, że źle przeanalizowałem kwestię granic, które najwidoczniej istnieją, mimo że sygnał jest przerywany.
Zadanie dosłownie wyglądało tak:
- AU
- Przechwytywanie.png (68.72 KiB) Przejrzano 238 razy