Interpolacja a wielomian trygonometryczny.

[pawlo392]

Weźmy \(\displaystyle{ n+1}\) węzłów takich, że \(\displaystyle{ 0 \le x_0< ... < x_n <\pi}\) oraz wartości odpowiednio \(\displaystyle{ y_0,y_1...y_n}\). Jak pokazać, że istnieje dokładnie jeden wielomian trygonometryczny \(\displaystyle{ P(x)= \sum_{i=0}^{n}a_i \cos (ix)}\), taki że \(\displaystyle{ P(x_k)=y_k}\) dla \(\displaystyle{ k=0...n}\)

[leg14]

widziałeś kiedyś dowód podobnego faktu dla wielomianów?

[pawlo392]

Niestety nie. Ale jak masz "coś pod ręką" jakiś link to z chęcią zobaczę.

[leg14]

no nie mam niestety.

spróbuj zrobić sobie macierz z wyrazami \(\displaystyle{ a_{i,k} = cos(k \cdot x_i )}\)
Czy przypadkiem nie jest to macierz odwracalna?

[pawlo392]

No tak. Jak rozpiszemy sobie taki równań, który nas interesuje to wystarczy pokazać, że macierz o której napisałeś jest odwracalna a to wszystko załatwi. Ale tutaj pojawia się problem. Raczej liczenie wyznacznika odpada.-- 20 sty 2019, o 22:57 --A dobrze. Już wszystko się rozjaśniło. Dzięki za wskazówkę.