Wskaźnik uwarunkowania z normą supremum dla macierzy

[Tzncioe]

Cześć! Mam duży problem z takim przykładem:

Oblicz wskaźnik uwarunkowania z normą supremum dla macierzy \(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} \alpha&1\\1&1\end{bmatrix}}\).

Mam wzory:

Wskaźnik uwarunkowania z normą supremum: \(\displaystyle{ \chi_2 \left( A \right) = ||A||_2 \cdot ||A^{-1}||_2}\)

Norma macierzy: \(\displaystyle{ ||A||_2 = \sup_{||x||_2 = 1}||Ax||_2}\)

Norma wektora: \(\displaystyle{ ||x||_2 = \left( \sum_{i = 1}^{n}x_i^2 \right) ^{\frac{1}{2}}}\)

I już jest problem z policzeniem supremum przy normie macierzy \(\displaystyle{ A}\). Bo dochodzę do wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{ \left( \alpha x_1 + x_2 \right) ^2 + \left( x_1 + x_2 \right) ^2}}\) i nie mogę wyznaczyć z tego supremum. Jak wpisuję do Mathematiki, to też wynik wychodzi nie wiadomo jak wielki, a zadanie ma być policzone na kartce. Być może w ogóle jakoś inaczej należałoby do tego podejść, ale nie wiem jak. To jest zadanie 43/187 z metod numerycznych z książki Kincaida i Cheneya "Analiza numeryczna".

Jest jeszcze przykład \(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} a + 1&a\\a&a - 1\end{bmatrix}}\), ale tu problem mam taki sam jak powyżej.

Bardzo proszę o pomoc, jeśli ktoś ma jakiś pomysł jak rozwiązać ten problem.

[bartek118]

Wykorzystaj własność
\(\displaystyle{ \|A\|_2 = \sqrt{| \lambda_{\max} (A^T A) |},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \lambda_{\max} (A^T A)}\) jest największą (co do modułu) wartością własną \(\displaystyle{ A^T A}\).-- 4 sty 2019, o 20:09 --Możesz też (tak jak chciałeś) minimalizować wyrażenie (w zasadzie można minimalizować kwadrat tego wyrażenia)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \left( \alpha x_1 + x_2 \right) ^2 + \left( x_1 + x_2 \right) ^2}}\)
ale przy warunku
\(\displaystyle{ x_1^2 + x_2^2 = 1}\)