Dzień dobry.
Mam problem z pewnymi przejściami w dowodzie twierdzenia:
Jeśli \(\displaystyle{ \lbrace x_1,x_2,... \rbrace}\) jest nieskończonym układem Markowa na \(\displaystyle{ [a,b]}\) i jeśli \(\displaystyle{ M = \overline{Lin \lbrace x_1,x_2,... \rbrace}}\), to dla każdej funkcji \(\displaystyle{ x \in C([a,b])\setminus M}\) zbiór \(\displaystyle{ P_M(x)}\) jest pusty.
Początek dowodu:
Przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ x \in C([a,b])\setminus M}\) istnieje \(\displaystyle{ v \in M}\) takie, że \(\displaystyle{ ||x-v||=dist(x,M)= \epsilon > 0}\). Ponieważ \(\displaystyle{ dist(x-v,M)=dist(x,M)}\) więc \(\displaystyle{ 0 \in P_M(x-v)}\). Niech \(\displaystyle{ M_n=Lin \lbrace x_1,x_2,... \rbrace}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,....}\) Ponieważ \(\displaystyle{ M_n \subset M}\), więc
\(\displaystyle{ ||x-v||=dist(x-v,M) \le dist(x-v,M_n) \le ||x-v||}\)
Mam dwa pytania:
1. Dlaczego \(\displaystyle{ dist(x-v,M)=dist(x,M)}\) ?
2. Dlaczego \(\displaystyle{ dist(x-v,M_n) \le ||x-v||}\) ?
\(\displaystyle{ ||.||}\) jest normą supremum
Twiedzenie i dowód pochodzą z książki W. Pleśniak "Wykłady z teorii aproksymacji"
