Twierdzenie Czebyszewa o alternansie

Przybliżanie, metoda najmniejszych kwadratów, wielomiany interpolacyjne i inne.
Bursztyncio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 24 lis 2015, o 23:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 34 razy

Twierdzenie Czebyszewa o alternansie

Post autor: Bursztyncio »

Witam, mam problem z rozwiązaniem takiego zadania.

Niech \(\displaystyle{ X = C\left( \left[ -1, 1\right] \right)}\). Korzystając z twierdzenia Czebyszewa o alternansie dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \left| x \right|}\) wyznaczyć element optymalny w sensie aproksymacji jednostajnej, w podprzestrzeni wielomianów co najwyżej drugiego stopnia.

Poszukuję elementu optymalnego w przestrzeni o wymiarze 3. Z racji tego, że funkcja f jest parzysta, to i element optymalny będzie parzysty. Konkretnie - jego postać to: \(\displaystyle{ w(x) = ax^2 + c}\).
Alternans będzie 4 punktowy. \(\displaystyle{ \left\{ -1, x_1, x_2, 1\right\}}\).

Pomyślałem sobie, że skoro f-w jest nieparzysta, to \(\displaystyle{ x_1 = -x_2}\), bo ekstrema będą w punktach z przeciwnym znakiem, ale to chyba nadal mało. Na pewno wiemy, że

\(\displaystyle{ \begin{cases} f(-1) - w(-1) = f(x_2) - w(x_2) \\ f(-1) - w(-1) = f(x_1) - w(x_1) \end{cases}}\)


Nie wiem jakie dodać kolejne równania, bo \(\displaystyle{ f}\) jest nieróżniczkowalna w zerze. Próbowałem to rozgryźć sprawdzając co się dzieje dla przedziałów \(\displaystyle{ left[ -1 , 0
ight)}\)
oraz \(\displaystyle{ \left( 0, 1\right]}\), ale wychodziły mi jakieś głupoty. Proszę o pomoc.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Twierdzenie Czebyszewa o alternansie

Post autor: janusz47 »

węzeł \(\displaystyle{ x_{1}= -\frac{1}{2}}\)- środek przedziału \(\displaystyle{ [-1, 0],}\)

węzeł \(\displaystyle{ x_{2} = \frac{1}{2}}\) - środek przedziału \(\displaystyle{ [0, 1].}\)
ODPOWIEDZ