Jaki jest wykładnik zbieżności metody Newtona zastosowanej do rozwiązania następujących równań:
\(\displaystyle{ x^2 = 0}\) i \(\displaystyle{ x^3 + x = 0}\)
Jak ja to robię (pytanie czy jest to dobrze)
Wzór to \(\displaystyle{ |x_{n+1}-r| \le C |x_n - r|^{\gamma}}\), gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) to wykładnik.
Dla pierwszego przykładu jedynym pierwiastkiem jest 0, więc \(\displaystyle{ r = 0}\).
Ze wzoru \(\displaystyle{ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{{x_n}^{2}}{2 x_n} = 0,5 x_n}\)
Wstawiam to wzoru na wykładnik: \(\displaystyle{ |0,5 x_n| \le C |x_n|^{\gamma}}\) i stąd widzę, że wykładnik zbieżności to 1.
Dla drugiego pierwiastek to 1, czyli \(\displaystyle{ r=1}\).
Wyliczam \(\displaystyle{ x_{n+1} = ... = \frac{1}{2}x_n - \frac{1}{2x_n}}\)
Do wzoru na wykładnik: \(\displaystyle{ |\frac{1}{2}x_n - \frac{1}{2x_n} - 1| \le C |x_n - 1|^{\gamma}}\) i tutaj też wystarczy \(\displaystyle{ \gamma = 1}\).
Czy moje rozumowanie jest okej?
