Przeskalowanie funkcji na dyskretnej siatce punktów.

[mmttdd]

Rozważmy dyskretny zbiór punktów \(\displaystyle{ x_0,...,x_n}\) równoodległych, to jest \(\displaystyle{ x_k=x_0+k\Delta x}\). Mamy pewną funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\), której wartości znamy na zbiorze \(\displaystyle{ x_0,...,x_n}\), tj. \(\displaystyle{ f(x_k)=f_k}\). Moim celem jest znając wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x_k)}\), znaleźć wartości \(\displaystyle{ g(x_k)}\), gdzie \(\displaystyle{ g(x)=f(\alpha x)}\), \(\displaystyle{ \alpha>1}\). Zatem znając wartości funkcji na dyskretnej siatce punktów, chcę znaleźć na tej samej siatce punktów wartości funkcji przeskalowanej. O funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) zakładamy, że blisko brzegów przedziału \(\displaystyle{ x_0,...,x_n}\) jest praktycznie równa zero, a wyraźnie niezerowa jest tylko w środku tego przedziału. Zatem po przeskalowaniu możemy uzupełnić pozostałe miejsce na początku i na końcu zerami. Czy istnieją jeszcze jakieś metody, żeby to zrobić poza interpolacją (wliczając wszystkie jej odmiany: liniową, kwadratową itd. )? Poza tym, czy istnieją może jakieś metody specjalnie dedykowane przypadkowi, gdy przeskalowanie jest małe, tj. \(\displaystyle{ \alpha=1+\epsilon}\), gdzie \(\displaystyle{ \epsilon\ll 1}\)?