Kwadratury Gaussa

[fluffiq]

Obliczyć:

\(\displaystyle{ \int_{1}^{10} \frac{e^{x}}{x^{2}} dx}\)

funkcje przybliżyć wielomianem stopnia 3-ciego dla którego wagi \(\displaystyle{ w_{i}}\) są równe 1 zaś węzły \(\displaystyle{ t_{i} = \frac{- \sqrt{3} }{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

[janusz47]

Transformacja przedziału całkowania \(\displaystyle{ [a, b]}\) na przedział \(\displaystyle{ [-1, 1]}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2}t.}\)

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)dx = \frac{b-a}{2}\int_{-1}^{1}f\left(\frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2}t\right) dt}\) (1)

Zastosowanie kwadratury Gaussa

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)dx = \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} A_{i}f(x_{i})}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ x_{i} = \frac{b-a}{2} + \frac{a+b}{2}t_{i}, \ \ i = 1,2,...,n.}\)

Określenie współczynników kwadratury\(\displaystyle{ A_{i}}\) - wykorzystując fakt, że są równe.

[fluffiq]

Transformacja przedziału całkowania \(\displaystyle{ [a, b]}\) na przedział \(\displaystyle{ [-1, 1]}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2}t.}\)

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{-1}^{1} \frac{b-a}{2}\int_{-1}^{1}f\left(\frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2}t\right) dt}\) (1)

Zastosowanie kwadratury Gaussa

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)dx = \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} A_{i}f(x_{i})}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ x_{i} = \frac{b-a}{2} + \frac{a+b}{2}t_{i}, \ \ i = 1,2,...,n.}\)

Określenie współczynników kwadratury\(\displaystyle{ A_{i}}\) - wykorzystując fakt, że są równe.

Teorię znam, bardziej chodzi mi o to że nie umiem tego rozpisać a co dopiero rozwiązać,

[janusz47]

Jakie problemy z rozpisaniem skoro jak piszesz znasz teorię?

[fluffiq]

Jakie problemy z rozpisaniem skoro jak piszesz znasz teorię?

Zrobiłem to tak, ale nie wiem czy dobrze

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)dx = \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} A_{i}f(x_{i})}\)

\(\displaystyle{ x_{i} = \frac{b-a}{2} + \frac{a+b}{2}t_{i}, \ \ i = 1,2,...,n.}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{10-1}{2} - \frac{10-1}{2} \frac{ \sqrt{3} }{ 3 } = \frac{3}{2}(3-\sqrt{3)}}\)

\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{10-1}{2} + \frac{10-1}{2} \frac{ \sqrt{3} }{ 3 }= \frac{3}{2}(3+\sqrt{3)}}\)


\(\displaystyle{ A = 1}\)

\(\displaystyle{ \int_{1}^{10}f(x)dx = \frac{10-1}{2}\sum_{i=1}^{n} F(x_{i}) =\frac{9}{2}(F_{x_{1}} + F_{{x_{2}})}\)

czyli

\(\displaystyle{ \int_{1}^{10}f(x)dx = \frac{10-1}{2}\sum_{i=1}^{n} F(x_{i}) =\frac{9}{2} ( \frac{e^{\frac{3}{2}(3-\sqrt{3)}}} {(\frac{3}{2}(3-\sqrt{3)})^{2}}}\) + \(\displaystyle{ \frac{e^{\frac{3}{2}(3+\sqrt{3)}}} {(\frac{3}{2}(3+\sqrt{3)})^{2}})}\)

tylko z polecenia nie bardzo rozumiem : Funkcje przybliż wielomianem stopnia 3.

[janusz47]

\(\displaystyle{ i = 1,2,3.}\)

Brak w drugim wzorze wag \(\displaystyle{ A_{i}: \ \ A_{1}= A_{2}= A_{3}=?}\)

Wielomian Legendre'a \(\displaystyle{ P_{3}(x).}\)

[fluffiq]

\(\displaystyle{ i = 1,2,3.}\)

Brak w drugim wzorze wag \(\displaystyle{ A_{i}: \ \ A_{1}= A_{2}= A_{3}=?}\)

Wielomian Legendre'a \(\displaystyle{ P_{3}(x).}\)

Tak, wagi \(\displaystyle{ A_{i} = 1}\)

No własnie nie wiem jak zastosować ten wielomian \(\displaystyle{ P_3(x)=\tfrac{1}{2}(5x^3-3x)}\)

[janusz47]

Wagi \(\displaystyle{ A_{i}, i=1,2,3}\) nie są równe \(\displaystyle{ 1.}\)

Wartości węzłów kwadratury \(\displaystyle{ t_{i}, i=1,2, 3}\) masz podane, zatem nie musisz znajdować zer wielomianu \(\displaystyle{ P_{3}.}\)

Niech \(\displaystyle{ f(t): 1, t, t^2, t^3,...,t^{2n-1}.}\)

Uwględniając rząd kwadratury Gaussa i podstawiając:

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}t^{k}dt = \sum_{i=1}^{n}A_{i}t_{i}^{k}, \ \ k=0,1,2,...,2n-1}\)

oraz

\(\displaystyle{ f(t) = \sum_{k=0}^{2n-1}C_{k}t^{k}}\)

otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}f(t)dt = \sum_{k=0}^{2n-1}C_{k}\int_{-1}^{1}t^{k}dt= \sum_{k=0}^{2n-1}C_{k}\sum_{i=1}^{n}A_{i}t_{i}^{k}= \sum_{i=1}^{n}A_{i}\sum_{k=0}^{2n-1}C_{k}t_{i}^{k} =\sum_{i=1}^{n}A_{i}f(t_{i}).}\)

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}t^{k}dt = \frac{1 - (-1)^{k+1}}{k+1}= \begin{cases} \frac{2}{k+1} \ \ \mbox{dla} \ \ k \ \ parzystego\\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ k \ \ \mbox{nieparzystego} \end{cases}.}\)

Otrzymujemy więc następujący układ równań na obliczenie wartości wag kwadratury Gaussa:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sum_{i=1}^{n}A_{i} = 2\\ \sum_{i=1}^{n}A_{i}t_{i} =0\\ ................................\\ \sum_{i=1}^{n} A_{i}t^{2n-2}_{i}= \frac{2}{2n -1} \\ \sum_{i=1}^{n} A_{i}t^{2n-1}_{i}=0 \end{cases}}\)

[fluffiq]

Wagi \(\displaystyle{ A_{i}, i=1,2,3}\) nie są równe \(\displaystyle{ 1.}\)

Wartości węzłów kwadratury \(\displaystyle{ t_{i}, i=1,2, 3}\) masz podane, zatem nie musisz znajdować zer wielomianu \(\displaystyle{ P_{3}}\)

Niech \(\displaystyle{ f(t): 1, t, t^2, t^3,...,}\)

Uwględniając rząd kwadratury Gaussa i podstawiając:

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}t^{k}dt = \sum_{i=1}^{n}A_{i}t_{i}^{k}, \ \ k=0,1,2,...,2n-1}\)

oraz

\(\displaystyle{ f(t) = \sum_{k=0}^{2n-1}C_{k}t^{k}}\)

otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}f(t)dt = \sum_{k=0}^{2n-1}C_{k}\int_{-1}^{1}t^{k}dt= \sum_{k=0}^{2n-1}C_{k}\sum_{i=1}^{n}A_{i}t_{i}^{k}= \sum_{i=1}^{n}A_{i}\sum_{k=0}^{2n-1}C_{k}t_{i}^{k} =\sum_{i=1}^{n}A_{i}f(t_{i}).}\)

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}t^{k}dt = \frac{1 - (-1)^{k+1}}{k+1}= \begin{cases} \frac{2}{k+1} \ \ \mbox{dla} \ \ k \ \ parzystego\\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ k \ \ \mbox{nieparzystego} \end{cases}.}\)

Otrzymujemy więc następujący układ równań na obliczenie wartości wag kwadratury Gaussa:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sum_{i=1}^{n}A_{i} = 2\\ \sum_{i=1}^{n}A_{i}t_{i} =0\\ ................................\\ \sum_{i=1}^{n} A_{i}t^{2n-2}_{i}= \frac{2}{2n -1} \\ \sum_{i=1}^{n} A_{i}t^{2n-1}_{i}=0 \end{cases}}\)

Czyli jednak nie umiem teorii i tego zadania nie zrobię.

[janusz47]

Skoro wagi \(\displaystyle{ A_{i}, i=1,2,3}\) mają być równe to z pierwszego równania ile każda z nich ma być równa?

[fluffiq]

Skoro wagi \(\displaystyle{ A_{i}, i=1,2,3}\) mają być równe to z pierwszego równania ile każda z nich ma być równa?

\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)

[janusz47]

Czytając drugi raz treść zadania stwierdziłem. że narzucono wartości wag i wartości węzłów. Masz rację \(\displaystyle{ A_{i} \equiv 1, i = 1,2,3}\) Ponieważ \(\displaystyle{ D_{f}= \{ x: x\neq 0 \}}\) więc Twoje ostatnie równanie kwadratury jest poprawne.
Tą kwadraturę przez transformację do przedziału \(\displaystyle{ [-1, 1]}\) autor zadania nazywa kwadraturą Gaussa.

[fluffiq]

Czytając drugi raz treść zadania stwierdziłem. że narzucono wartości wag i wartości węzłów. Masz rację \(\displaystyle{ A_{i} \equiv 1, i = 1,2,3}\) Ponieważ \(\displaystyle{ D_{f}= \{ x: x\neq 0 \}}\) więc Twoje ostatnie równanie kwadratury jest poprawne.
Tą kwadraturę przez transformację do przedziału \(\displaystyle{ [-1, 1]}\) autor zadania nazywa kwadraturą Gaussa.

Czyli wystarczy policzyć do końca i to jest rozwiązanie ? Bo nie ukrywam że pierwszy raz liczę kwadraturami jakikolwiek zadanie.

[janusz47]

Tak.