Mam tabelkę z wartosciami
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|l|c}
\hline
x_{i} & y{i} \\
1.00 & 0.55 \\
1.25 & 0.71 \\
1.50 & 0.88 \\
1.75 & 1.09 \\
2.00 & 1.25 \\
\hline
\end{tabular}}\)
muszę aproksymować te punkty funkcją \(\displaystyle{ y = bx^{a}}\)
Wiem że będzie to aproksymacja średnio kwadratowa dana wzorami:
\(\displaystyle{ G^{T}Gm = G^{T}d}\)
\(\displaystyle{ m= \left( G^{T}G\right)^{-1}G^{T}d}\)
Chodzi mi o przekształcenie ->
\(\displaystyle{ y = bx^{a}}\)
\(\displaystyle{ \ln y = Y}\)
\(\displaystyle{ \ln b = B}\)
\(\displaystyle{ \ln x = X}\)
\(\displaystyle{ a = e^{A}}\)
\(\displaystyle{ Y = B + AX}\)
Potem sobie ładnie wszystko liczę korzystając ze wzorów podanych wcześniej i powstaje taka tabelka:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|l|c}
\hline
\ln\left( x\right) & \ln\left( y\right) \\
X & Y \\
0 & -0.598 \\\
0.22 & -0.34 \\
0.4 & -0.13 \\
0.56 & 0.09 \\
0.69 & 0.22 \\
\hline
\end{tabular}}\)
i potem liczę już macierz \(\displaystyle{ G}\) , \(\displaystyle{ G^{T}}\), \(\displaystyle{ G^{T}G}\), \(\displaystyle{ G^{T}d}\) czy też \(\displaystyle{ \left( G^{T}G\right)^{-1}}\)
I coś tam wychodzi.
\(\displaystyle{ G^{T}Gm = G^{T}d}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}5&1.86&1.87&0.998\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}A&B&\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}9.41&3.74\end{array}\right]}\)
Popełniłem jakiś błąd?
Aproksymacja średnio kwadratowa funkcją wykładniczą.
-
fluffiq
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Re: Aproksymacja średnio kwadratowa funkcją wykładniczą.
Moje całe rozwiązanie:
\(\displaystyle{ G^{T}Gm = G^{T}d}\)
\(\displaystyle{ m= \left( G^{T}G\right)^{-1}G^{T}d}\)
Chodzi mi o przekształcenie ->
\(\displaystyle{ y = bx^{a}}\)
\(\displaystyle{ \ln y = Y}\)
\(\displaystyle{ \ln b = B}\)
\(\displaystyle{ \ln x = X}\)
\(\displaystyle{ a = e^{A}}\)
więc mam takie równanie:
\(\displaystyle{ Y = B + AX}\)
i taka tabelke:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|l|c}
\hline
\ln\left( x\right) & \ln\left( y\right) \\
X & Y \\
0 & -0.598 \\\
0.22 & -0.34 \\
0.4 & -0.13 \\
0.56 & 0.09 \\
0.69 & 0.22 \\
\hline
\end{tabular}}\)
więc liczę poszczególne składowe równań macierzowych:
\(\displaystyle{ G^{T} = \left[\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0.22 & 0.4 & 0.56 & 0.69 \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ G^{T}G = \left[\begin{array}{cc} 5 & 1,87 \\ 1.87 & 0.998 \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ M = \left[\begin{array}{c} A \\ B \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ G^{T}d = \left[\begin{array}{c} -0.76 \\ 0.07 \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ d = \left[\begin{array}{c} -0.6 \\ -0.34 \\ -0.13 \\ 0.09 \\ 0.22 \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ G^{T}Gm = G^{T}d}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}5&1.86&1.87&0.998\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}A&B&\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}9.41&3.74\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ A = - 0.55}\)
\(\displaystyle{ B =0,332}\)
Więc przypominając sobie wzór na moje równanie
\(\displaystyle{ Y = B +Ax}\)
Wychodzi:
\(\displaystyle{ Y = -0.332 + 0.555x}\)
i powracam do formy której oczekują w rozwiązaniu czyli
\(\displaystyle{ y = bx^{a}}\)
więc:
\(\displaystyle{ b = e^{B}}\)
\(\displaystyle{ b = 0.72}\)
\(\displaystyle{ a = A}\)
czyli:
\(\displaystyle{ y = 0.72x^{-0.555}}\)
\(\displaystyle{ G^{T}Gm = G^{T}d}\)
\(\displaystyle{ m= \left( G^{T}G\right)^{-1}G^{T}d}\)
Chodzi mi o przekształcenie ->
\(\displaystyle{ y = bx^{a}}\)
\(\displaystyle{ \ln y = Y}\)
\(\displaystyle{ \ln b = B}\)
\(\displaystyle{ \ln x = X}\)
\(\displaystyle{ a = e^{A}}\)
więc mam takie równanie:
\(\displaystyle{ Y = B + AX}\)
i taka tabelke:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|l|c}
\hline
\ln\left( x\right) & \ln\left( y\right) \\
X & Y \\
0 & -0.598 \\\
0.22 & -0.34 \\
0.4 & -0.13 \\
0.56 & 0.09 \\
0.69 & 0.22 \\
\hline
\end{tabular}}\)
więc liczę poszczególne składowe równań macierzowych:
\(\displaystyle{ G^{T} = \left[\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0.22 & 0.4 & 0.56 & 0.69 \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ G^{T}G = \left[\begin{array}{cc} 5 & 1,87 \\ 1.87 & 0.998 \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ M = \left[\begin{array}{c} A \\ B \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ G^{T}d = \left[\begin{array}{c} -0.76 \\ 0.07 \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ d = \left[\begin{array}{c} -0.6 \\ -0.34 \\ -0.13 \\ 0.09 \\ 0.22 \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ G^{T}Gm = G^{T}d}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}5&1.86&1.87&0.998\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}A&B&\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}9.41&3.74\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ A = - 0.55}\)
\(\displaystyle{ B =0,332}\)
Więc przypominając sobie wzór na moje równanie
\(\displaystyle{ Y = B +Ax}\)
Wychodzi:
\(\displaystyle{ Y = -0.332 + 0.555x}\)
i powracam do formy której oczekują w rozwiązaniu czyli
\(\displaystyle{ y = bx^{a}}\)
więc:
\(\displaystyle{ b = e^{B}}\)
\(\displaystyle{ b = 0.72}\)
\(\displaystyle{ a = A}\)
czyli:
\(\displaystyle{ y = 0.72x^{-0.555}}\)
Ostatnio zmieniony 30 sie 2018, o 11:10 przez fluffiq, łącznie zmieniany 1 raz.