Rozwiąż równanie metoda numeryczna

[fluffiq]

Wykonując maksymalnie 2 iteracje określ przybliżona wartość rozwiązania:
\(\displaystyle{ \log(x+0.1) = -\sqrt{x}}\)

+ zaproponuj przedział rozwiązania tego równania,
+ jakimi innymi metodami można rozwiązać to zadanie.

[squared]

np. metoda bisekcji? Metoda iteracji ? Wiele można.

[fluffiq]

np. metoda bisekcji? Metoda iteracji ? Wiele można.

Zastanawiam się nad dobraniem przedziału. Niby sugeruje się \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) by wyszedł jakąś ładną całkowitą liczbą, stąd stawiam na 4.

i wtedy mam

\(\displaystyle{ \log\left( 4 +0.1\right) = -\sqrt{4}}\)
czyli

\(\displaystyle{ \log\left( 4.01\right) = -2}\)

Tylko niestety dalej mnie to przybija i nie mogę się ruszyć. Czy źle zaczynam swoje rozumowanie?

[squared]

Zacznijmy od początku. Jaką metodę chcesz wykorzystać?

Rozwiązanie metodą iteracyjną nie polega, na wstawieniu dowolnego \(\displaystyle{ x}\) i nadziei, że pasuje do odpowiedzi.

W celu znalezienia przedziału, w jakim znajduje się rozwiązanie, naszkicuj sobie oba wykresy i zobacz, gdzie orientacyjnie się przetną.

[fluffiq]

Zacznijmy od początku. Jaką metodę chcesz wykorzystać?

Rozwiązanie metodą iteracyjną nie polega, na wstawieniu dowolnego \(\displaystyle{ x}\) i nadziei, że pasuje do odpowiedzi.

W celu znalezienia przedziału, w jakim znajduje się rozwiązanie, naszkicuj sobie oba wykresy i zobacz, gdzie orientacyjnie się przetną.

Metoda Bisekcji. A jak zrobiłem wykres to okolice x = 0.42 wyszło mi że się przecinają.

[squared]

Tak, dokładnie. Zielona kreska to mniej więcej \(\displaystyle{ 0,5}\). Wystarczyło szerej stwierdzić, że rozwiązanie jest między \(\displaystyle{ 0}\) a \(\displaystyle{ 1}\).

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[>=stealth,thick,xscale=0.5, yscale=0.12]
\clip (-4,-10) rectangle (10,20);
\draw[->](-4,0)--(10,0) node[below,xshift=-0.1cm]{$x$};
\draw[->](0,-10)--(0,20) node[right,yshift=-0.15cm]{$y$};
\draw[red!50!black,domain=0:2.10] plot (\x,{-\x^(1/2)});
\draw[red!50!black,domain=0:2.10] plot (\x,{log2(\x + 0.1)});
\draw[green!40!black,dashed] (0.5,-10)--(0.5,20);
\end{tikzpicture}}\)

Znasz metodę bisekcji? Wiesz, jak ją zastosować?

[fluffiq]

Algorytm działania.

Pierwszy krok) Znajdujemy \(\displaystyle{ F_{(x1)}}\) gdzie \(\displaystyle{ x_{1} = \frac{a+b}{2}}\), jeśli \(\displaystyle{ F_{(x1)}=0}\) to koniec iteracji.

Drugi Krok) Jeśli \(\displaystyle{ F_{(a)}F(_{x1)} < 0}\) to definiujemy \(\displaystyle{ b=x_{1}}\), wartość \(\displaystyle{ a}\)się nie zmienia. W przeciwnym wypadku definiujemy \(\displaystyle{ a=x_{1}}\), podczas gdy b nie ulega zmianie.

Trzeci Krok) Powracamy do Pierwszego Kroku i definiujemy \(\displaystyle{ x_{2}}\)

czyli :

\(\displaystyle{ F_{x} = \log(x+0.1) + \sqrt{x}}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ F_{(a)} = F_{0} = -1}\)

\(\displaystyle{ F_{(b)} = F_{1} = 0.00432137378 + 1 = 1.00432137378}\)

\(\displaystyle{ F_{(x_{1})} = F_{0.5} = -0.22184874961 + 0.70710678118 = 0.48525803157}\)

\(\displaystyle{ F_{(a)} F_{(x_{1})} < 0}\)

dlatego przyjmujemy

\(\displaystyle{ a = x_{1} = 0.5}\)

\(\displaystyle{ a= 1}\)

\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{0+0.5}{2} = 0.25}\)

i potem obliczyć odpowiednio \(\displaystyle{ F_{b}}\) , \(\displaystyle{ F_{a}}\) , \(\displaystyle{ F_{x_{1}}}\) i okreslić \(\displaystyle{ a}\)oraz \(\displaystyle{ b}\).

[squared]

A nie przypadkiem:

\(\displaystyle{ F_{(b)} = F_{1} = 0.0413 + 1 = 1.0413}\)


Dodatkowo, jeśli \(\displaystyle{ F_{(a)} F_{(x_{1})} < 0}\) to bierzemy

\(\displaystyle{ a=0, b=0.5}\) (punkty, dla których funkcja ma różne znaki). Potem liczymy \(\displaystyle{ x_1=0.25}\) oraz powtarzamy procedurę.

[fluffiq]

A nie przypadkiem:

\(\displaystyle{ F_{(b)} = F_{1} = 0.0413 + 1 = 1.0413}\)


Dodatkowo, jeśli \(\displaystyle{ F_{(a)} F_{(x_{1})} < 0}\) to bierzemy

\(\displaystyle{ a=0, b=0.5}\) (punkty, dla których funkcja ma różne znaki). Potem liczymy \(\displaystyle{ x_1=0.25}\) oraz powtarzamy procedurę.

Dzięki, mój błąd.