Równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

[marpus]

Cześć,
Mam takie zadanko:

Dane jest równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu \(\displaystyle{ y'(t) + \sin ( \pi t) + y(t) = 0}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ y(0) = 1}\). Określ typ tego równania (rozpadu, wzrostu, oscylacyjne). Następnie wyznacz przybliżoną wartość rozwiązania tego równania dla \(\displaystyle{ t = 1}\), z krokiem dyskretnym \(\displaystyle{ \partial t = 1}\), stosując metody:
a) bezpośrednia Eulera

Podaj i uzasadnij czy tak uzyskane rozwiązanie jest numerycznie stabilne.

Mam rozwiązanie z zajęć:

\(\displaystyle{ y'(t) + \sin (\pi t) + y(t) = 0 \\
y(0) = 1 \\
\partial t = 1 \\
f(t, y(t)) = - \sin (\pi t) - y(t)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} = -1 < 0}\) => równanie typu rozpadu

a) Bezpośrednia metoda Eulera

\(\displaystyle{ \frac{ y_{k+1} - y_{k} }{ \partial t} = f( t_{k}, y_{k} ) = 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{ y_{k+1} - y_{k} }{ \partial t} + \sin (\pi \cdot t_{k}) + y_{k} = 0}\)

\(\displaystyle{ y_{k+1} - y_{k} + \sin (\pi \cdot t_{k}) + y_{k} = 0 \\
y_{k+1} = - \sin (\pi \cdot t_{k}) \\
y_{1} = - \sin (\pi \cdot t_{0}) \\
y_{1} = - \sin (\pi \cdot 0) \\
y_{1} = -\sin (0) \\
y_{1} = 0}\)

\(\displaystyle{ \partial t \le \frac{-2}{ \frac{ \partial f}{ \partial y} } \\
1 \le \frac{-2}{-1}}\)
\(\displaystyle{ 1 \le 2}\) => uzyskane rozwiązanie jest numerycznie stabilne

Do powyższego rozwiązania mam kilka pytań. Nie rozumiem:
1)dlaczego \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} = -1}\)
2)dlaczego \(\displaystyle{ k = 0}\)
3)skąd się bierze \(\displaystyle{ t_{0} = 0}\)

Serdeczna prośba o wytłumaczenie.

[janusz47]

1.
Bo obliczamy pochodną cząstkową równania względem \(\displaystyle{ y}\) zawierającego \(\displaystyle{ y(t)}\) w potędze pierwszej.

2.
Bo zaczynamy od wartości początkowej \(\displaystyle{ t_{0}.}\)

3.
Bo w bezpośredniej metodzie Eulera (łamanych) i nie tylko w tej metodzie, zaczynamy od węzła początkowego \(\displaystyle{ (t_{0}, y_{0}).}\)

[marpus]

1. Ok, nie rozumiem jeszcze tylko skąd się bierze:

\(\displaystyle{ f(t, y(t)) = - sin(\pi t) - y(t)}\)

Jest to jakoś przekształcone z:
\(\displaystyle{ y'(t) + sin( \pi t) + y(t) = 0}\)

minus przy \(\displaystyle{ sin}\) i \(\displaystyle{ y}\) no bo przenosimy na drugą stronę ale dlaczego: \(\displaystyle{ y'(t)}\) znika?

3. czyli zawsze \(\displaystyle{ t_{0} = 0}\) ??

[janusz47]

1.
Z wydzielenia funkcji \(\displaystyle{ f}\) występującej po prawej strony równania.

3.
Zawsze w tej metodzie.