Równanie dyfuzji

[marpus]

Cześć,
Mam takie zadanie:

Dane jest równanie różniczkowe cząstkowe dyfuzji \(\displaystyle{ \frac{ \partial u(x,t)}{ \partial t} = D \frac{ \partial ^{2}u(x,t) }{ \partial x^{2} }}\), określone dla \(\displaystyle{ x \in [-1,1]}\) oraz \(\displaystyle{ t \in [0, \infty ]}\). Dany też jest warunek początkowy \(\displaystyle{ u(x,0) = x}\) i warunki brzegowe \(\displaystyle{ u(-1,t) = t^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ u(1,t) = -t^{2}}\). Wyznacz przybliżone wartości rozwiązania dokładnego stusując metody:
a) metodą bezpośrednią
b) Laasonen
c) Cranka-Nicolson
przy użyciu jednorodnej siatki przestrzennej z krokiem \(\displaystyle{ h = 1}\) i jednorodnej siatki czasowej z krokiem \(\displaystyle{ \partial t = 1}\). Przyjmij, że \(\displaystyle{ D = 1}\). W każdym przypadku podaj i uzasadnij czy tak uzyskane rozwiązania są numerycznie stabilne.

To co do tej pory udało mi się rozgryźć to:
Wspólne dla wszystkich metod:
\(\displaystyle{ x_{0} = -1 \\
x_{1} = 0 \\
x_{2} = 1}\)

Jeśli dobrze rozumiem to te wszystkie powyższe x są po prostu z przedziału \(\displaystyle{ x \in [-1,1]}\).

Z warunku początkowego trzeba obliczyć:
\(\displaystyle{ u_{0,0} \\
u_{1,0} \\
u_{2,0}}\)

oraz z warunków brzegowych:
\(\displaystyle{ u_{0,1} \\
u_{2,1}}\)

Lecz tutaj nie mam pojęcia jak to obliczyć / co podstawić do tych wzorów. Co nie wymyślę to mi się nie zgadza Serdeczna prośba o pomoc.

[janusz47]

A co wymyśliłeś?

Na czym polega metoda bezpośrednia rozwiązywania równania dyfuzji.

Na czym polega metoda Thomee Larssona?

Na czym polega schemat Cranka-Nicolsona?

[marpus]

No, żeby się dalej zabrać za to trzeba wyznaczyć te wartości, które są wspólne dla każdej z tych metod.

\(\displaystyle{ u_{0,0} \\
u_{1,0} \\
u_{2,0}}\)

\(\displaystyle{ u_{0,1} \\
u_{2,1}}\)

Z którymi mam problem, nie wiem jak to się wylicza.

Dalej to już tylko odpowiednie podstawienie do wzory, które wydaje mi się, ze rozumiem.

a) Klasyczna metoda bespośrednia

\(\displaystyle{ \frac{ U_{i, k+1} - U_{i,k} }{ \partial t} = D \frac{ U_{i-1,k} - 2 U_{i,k} + U_{i+1, k} }{ h^{2} }}\)

\(\displaystyle{ U_{i, k+1}}\) - niewiadoma

\(\displaystyle{ U_{i, k+1} = \lambda U_{i-1, k} + \left( 1 - 2 \lambda \right) U_{i, k} + \lambda U_{i+1, k}}\)

Metoda jest stabilna gdy \(\displaystyle{ \lambda \le \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \lambda = D \frac{ \partial t}{ h^{2} }}\)

b) Metoda Laasonem

\(\displaystyle{ \frac{ U_{i, k+1} - U_{i, k} }{ \partial t} = D \frac{ U_{i-1, k+1} - 2 U_{i, k+1} + U_{i+1, k+1} }{ h^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \lambda U_{i-1, k+1} - \left( 1+2 \lambda \right) U_{i, k+1} + \lambda U_{i+1, k+1} = - U_{i, k}}\)

Niewiadome:
\(\displaystyle{ U_{i-1, k+1} \\
U_{i, k+1} \\
U_{i+1, k+1}}\)

Metoda bezwarunkowo stabilna - \(\displaystyle{ \lambda}\) może być dowolna

c) metoda Cranka - Nicolson

\(\displaystyle{ \frac{ U_{i, k+1} - U_{i, k} }{ \partial t} = \frac{1}{2} \left[ D \frac{ U_{i-1, k+1} -2 U_{i, k+1} + U_{i+1, k+1} }{ h^{2} } + D \frac{ U_{i-1, k} - 2 U_{i, k} + U_{i+1, k} }{ h^{2} } \right]}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \lambda }{2} U_{i-1, k+1} - \left( 1 + \lambda \right) U_{i, k+1} + \frac{ \lambda }{2} U_{i+1, k+1} = - \left[ \frac{ \lambda }{2} U_{i-1, k} + \left( 1 - \lambda \right) U_{i, k} + \frac{ \lambda }{2} U_{i+1, k} \right]}\)

Niewiadome:
\(\displaystyle{ U_{i-1, k+1} \\
U_{i, k+1} \\
U_{i+1, k+1}}\)


Metoda jest bezwarunkowo stabilna \(\displaystyle{ \lambda}\) może być dowolna

-- 19 sie 2018, o 13:36 --

Z warunku początkowego: \(\displaystyle{ U(x, 0) = x}\) będzie to:
\(\displaystyle{ U_{0, 0} = x_{0} = -1}\)
\(\displaystyle{ U_{1, 0} = x_{1} = 0}\)
\(\displaystyle{ U_{2, 0} = x_{2} = 1}\)

Zgadza się?

Natomiast nie mam pojęcia jak z warunków brzegowych, wyliczyć \(\displaystyle{ U_{0, 1}}\) oraz \(\displaystyle{ U_{2, 1}}\)

Warunki brzegowe
\(\displaystyle{ u(-1,t) = t^{2}}\)
\(\displaystyle{ u(1,t) = -t^{2}}\)

No bo skoro \(\displaystyle{ t = 1}\) to podstawiając za t odliczę: \(\displaystyle{ U_{-1, 1} = 1}\) oraz \(\displaystyle{ U_{1, 1} = 1}\)

Czegoś nie rozumiem, ale sam już nie wiem czego Prośba o pomoc.-- 20 sie 2018, o 21:36 --Serdeczna prośba o naprowadzenie mnie, jak to wyliczyć.