Teoretyczny rząd dokładności

[marpus]

Cześć,
Serdeczna prośba o pomoc w poniższym zadaniu.

Dana jest funkcja klasy \(\displaystyle{ C^{ \infty }}\) oraz jednorodna sieć węzłów \(\displaystyle{ x_{i} = ih}\), gdzie i = 0, 1. Udowodnij, że wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{f( x_{n}) - f( x_{n-2}) }{2h}}\) stanowi przybliżenie pierwszej pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) w ostatnim węźle (tzn \(\displaystyle{ x_{n}}\) siatki i wyznacz teoretyczny rząd dokładności tego przybliżenia.

Wiem, że muszę to rozwinąć w szereg Taylora ale jakoś dla tego przykładu nie mam pojęcia jak to zrobić
Prośba o pomoc.

-- 17 sie 2018, o 21:23 --

Dostałem chyba olśnienia

Czy to będzie tak? Serdeczna prośba o sprawdzenie.

\(\displaystyle{ f( x_{n}) = f(x_{n-1}) + f'(x_{n-1})h + \frac{1}{2} f''(x_{n-1}) h^{2} + \frac{1}{6}f'''(x_{n-1}) h^{3}}\)
\(\displaystyle{ f( x_{n-2}) = f(x_{n-1}) - f'(x_{n-1})h + \frac{1}{2} f''(x_{n-1}) h^{2} - \frac{1}{6}f'''(x_{n-1}) h^{3}}\)

Po podstawieniu i zredukowaniu wyrazów podobnych.

\(\displaystyle{ \frac{f( x_{n}) - f( x_{n-2}) }{2h} \approx \frac{f'(x_{n-1})h + f'(x_{n-1})h + \frac{1}{6}f'''(x_{n-1}) h^{3}}{2h} \approx \frac{2f'( x_{n-1})h + \frac{1}{3} f'''( x_{n-1}) h^{3}}{2h} \approx f'(x_{n-1}) + \frac{2}{3} f'''( x_{n-1}) h^{2}}\)

Błąd obcięcia: \(\displaystyle{ \frac{2}{3} f'''( x_{n-1}) h^{2}}\)
Teoretyczny rząd dokładności wynosi: 2, ponieważ przy h w potędze jest 2.

[Igor V]

\(\displaystyle{ \frac{f'(x_{n-1})h + f'(x_{n-1})h + \frac{1}{6}f'''(x_{n-1}) h^{3}}{2h} \approx \frac{2f'( x_{n-1})h + \frac{1}{3} f'''( x_{n-1}) h^{3}}{2h}}\)

Nie wiem jak z jednego wynika drugie - choć domyślam się że powinno być \(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{1}{6}}\). Tak samo potem już równość zamiast przybliżenia.

Tutaj masz błąd :

\(\displaystyle{ \frac{2f'( x_{n-1})h + \frac{1}{3} f'''( x_{n-1}) h^{3}}{2h} \approx f'(x_{n-1}) + {\red \frac{2}{3}} f'''( x_{n-1}) h^{2}}\)

Dodatkowo równość zamiast przybliżenia.

Teoretyczny rząd dokładności wynosi: 2, ponieważ przy h w potędze jest 2.

Raczej dlatego że rząd pierwszej pochodnej o niezerowym współczynniku jest równy 3, więc rząd dokładności jest równy 2. Formalnie powinieneś policzyć różnicę między \(\displaystyle{ \hat{y'}_{n - 1}}\) oraz \(\displaystyle{ y'_{n - 1}}\) a dopiero potem wyciągać wnioski.

Błąd obcięcia: \(\displaystyle{ \frac{2}{3} f'''( x_{n-1}) h^{2}}\)

Pomijając ten błąd rachunkowy, to bym to zapisał w takiej formie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{6} f'''( x_{n-1}) h^{2} + O\left(h^3 \right)}\)