Wskaźnik uwarunkowania względnego

[marpus]

Cześć,
Mam takie zadanko:

Wyznacz wskaźnik uwarunkowania względnego dla zadania obliczania funkcji \(\displaystyle{ f(x) = (x-4)^{-1}}\) Dla jakich wartości x uwarunkowanie względne jest najgorsze?

Zrobiłem tak:

\(\displaystyle{ f'(x) = (x-4)^{-2} = \frac{1}{ (x-4)^{2} }}\)


\(\displaystyle{ cond(f(x)) = \left| \frac{xf'(x)}{f(x)} \right| = \left| \frac{ \frac{-x}{ (x-4)^{2} } }{ \frac{1}{x-4} }\right| = \left| \frac{-x}{ (x-4)^{2}} \cdot \frac{x-4}{1} \right| = \left| \frac{-x}{x-4} \right|}\)


\(\displaystyle{ x - 4 = 0}\)

\(\displaystyle{ x = 4}\)

Dla \(\displaystyle{ x = 4}\) uwarunkowanie względne jest najgorsze ponieważ \(\displaystyle{ x = 4}\) nie należy do dziedziny.

Serdeczna prośba o sprawdzenie czy dobrze zrobiłem to zadanie, jeśli nie to co jest źle. Już teraz z góry dziękuję.

[janusz47]

Obliczenia wskaźnika uwarunkowania zadania wykonałeś poprawnie.

Musisz dodatkowo założyć, że zaburzenia danych są bardzo małe, (bo względne błędy reprezentacji są bardzo małe). Obliczyłeś więc wartość graniczną wskaźnika uwarunkowania ( przy \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0}\))

Jest to to jak piszesz wskaźnik uwarunkowania względnego - zadania obliczania wartość skalarnej funkcji \(\displaystyle{ f}\) różniczkowalnej i ciągłej w dziedzinie \(\displaystyle{ \RR \setminus \{4\}.}\)

Dla \(\displaystyle{ x\approx 4}\) małe błędy względne wartości \(\displaystyle{ x}\) prowadzą do dużych błędów względnych dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x-4} .}\)

[Igor V]

trochę inna metoda

[janusz47]

Metoda dokładna określania wskaźnika uwarunkowania, stosowana nie tylko do zadań obliczania funkcji skalarnych lecz także wektorowych, macierzowych jak również algorytmów numerycznych.