Zaproponuj metodę iteracyjną obliczania \(\displaystyle{ 1/a}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ a>0}\) nie używająca dzielenia. Jak wybrać przybliżenie początkowe, aby metoda była zbieżna? Jaki jest wykładnik zbieżności?
Wskazówka: Zastosuj metodę Newtona do funkcji \(\displaystyle{ f(x)=1/x-a}\).
I co dalej z tym koksem trzeba zrobić?
Zaproponuj metodę
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Zaproponuj metodę
\(\displaystyle{ f(x) = a - \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{1}{x^2}.}\)
Stosując Metodę Newtona-Raphsona:
\(\displaystyle{ x_{n+1} = x_{n} - \frac{a - \frac{1}{x_{n}}}{\frac{1}{x^2_{n}}} = 2x_{n} - a\cdot x^2_{n}.}\)
Wybierając punkt początkowy \(\displaystyle{ x_{0} = 0,1}\) otrzymujemy na przykład dla \(\displaystyle{ a = 12}\):
\(\displaystyle{ x_{1} = 2(0,1) - 12(0,1)^2 = 0,08}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = 2(0,08) - 12(0,08)^2 = 0,0832}\)
\(\displaystyle{ x_{3} = 0,0833312}\)
\(\displaystyle{ x_{4} = 0,08333333333 279}\)
\(\displaystyle{ x_{5} = 0,08333333333333}\)
Stąd wynika, że liczba \(\displaystyle{ 0,08333333333333}\) jest dokładną aproksymacją procesu iteracyjnego.
Powtarzając ten proces na przykład dla \(\displaystyle{ x_{0} = 1}\) - otrzymujemy
\(\displaystyle{ x_{1} = 2(1) - 12(1)^2 = -10}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = 2(-6) - 12(-6)^2 = -1220}\)
\(\displaystyle{ x_{3} = 2(-300) - 12(-300)^2 = −17863240}\)
Widać, że ciąg kolejnych iteracji jest rozbieżny (nie dąży do właściwego rozwiązania).
W ogólnym przypadku, aby metoda ta była zbieżna do \(\displaystyle{ a}\) - punkt startowy\(\displaystyle{ x_{0}}\) musi być wybrany z przedziału \(\displaystyle{ (0, \frac{2}{a}).}\)
Metoda Newtona - Raphsona dla pojedyńczych pierwiastków równań jest metodą o zbieżności kwadratowej. Rząd (wykładnik zbieżności ) metody wynosi \(\displaystyle{ 2.}\)
\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{1}{x^2}.}\)
Stosując Metodę Newtona-Raphsona:
\(\displaystyle{ x_{n+1} = x_{n} - \frac{a - \frac{1}{x_{n}}}{\frac{1}{x^2_{n}}} = 2x_{n} - a\cdot x^2_{n}.}\)
Wybierając punkt początkowy \(\displaystyle{ x_{0} = 0,1}\) otrzymujemy na przykład dla \(\displaystyle{ a = 12}\):
\(\displaystyle{ x_{1} = 2(0,1) - 12(0,1)^2 = 0,08}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = 2(0,08) - 12(0,08)^2 = 0,0832}\)
\(\displaystyle{ x_{3} = 0,0833312}\)
\(\displaystyle{ x_{4} = 0,08333333333 279}\)
\(\displaystyle{ x_{5} = 0,08333333333333}\)
Stąd wynika, że liczba \(\displaystyle{ 0,08333333333333}\) jest dokładną aproksymacją procesu iteracyjnego.
Powtarzając ten proces na przykład dla \(\displaystyle{ x_{0} = 1}\) - otrzymujemy
\(\displaystyle{ x_{1} = 2(1) - 12(1)^2 = -10}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = 2(-6) - 12(-6)^2 = -1220}\)
\(\displaystyle{ x_{3} = 2(-300) - 12(-300)^2 = −17863240}\)
Widać, że ciąg kolejnych iteracji jest rozbieżny (nie dąży do właściwego rozwiązania).
W ogólnym przypadku, aby metoda ta była zbieżna do \(\displaystyle{ a}\) - punkt startowy\(\displaystyle{ x_{0}}\) musi być wybrany z przedziału \(\displaystyle{ (0, \frac{2}{a}).}\)
Metoda Newtona - Raphsona dla pojedyńczych pierwiastków równań jest metodą o zbieżności kwadratowej. Rząd (wykładnik zbieżności ) metody wynosi \(\displaystyle{ 2.}\)