Na podstawie wzoru Newtona-Leibniza, otrzymujemy wartość dokładną całki:
\(\displaystyle{ I = \int_{0}^{3} x^3 dx = \frac{1}{4}x^4 \left |_{0}^{3} = \frac{1}{4} \cdot \left( 3^4 -3^0\right ) = \frac{1}{4}\cdot 81 = 20,25.}\)
Mając dokładną wartość całki, chcemy tę wartość potwierdzać metodami przybliżonymi w postaci kwadratur (zadanie według mnie sztuczne, aczkolwiek mające na celu poznanie podstawowych metod numerycznego całkowania i dokładności tych metod).
Kwadratury Newtona-Cotesa
Kwadratury Newtona-Cotesa są to kwadratury oparte na węzłach wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a \(\displaystyle{ p_{n}.}\)
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)dx = \sum_{k=0}^{n} w_{k}\cdot f(a + k\cdot h),}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ h = \frac{b - a}{n}, \ \ w_{k} = \int_{a}^{b} L_{k}(x)dx , \ \ L_{k}(x) = \prod_{i=0, i \neq k}^{n} \frac{x -x_{i}}{x_{k} -x{i}}.}\)
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) i \(\displaystyle{ x_{0} = a, \ \ x_{1} = b,}\) otrzymujemy wielomian interpolacyjny Lagrange'a pierwszego stopnia
\(\displaystyle{ p_{1}(x) = L_{0}(x)\cdot f(a) + L_{1}(x)\cdot f(b) = \frac{x-b}{a-b} f(a) + \frac{x-a}{b-a}f(b) = \frac{1}{b-a}[ (b-x)f(a)+(x-a)f(b)].}\)
Całkując \(\displaystyle{ p_{1}(x)}\) w granicach od \(\displaystyle{ a}\) do \(\displaystyle{ b}\), otrzymujemy kwadraturę Newtona-Cotesa rzędu pierwszego:
\(\displaystyle{ T_{1}(a,b, f)) = \int_{a}^{b}\frac{1}{b-a} [(b-x)f(a)+ (x - a)f(b)]dx = \frac{1}{b-a} \left [-\frac{(b-x)^2}{2}f(a) + \frac{(x-a)^2}{2}f(b) \right |_{a}^{b} = \frac{1}{b-a} \left [\frac{(b-a)^2}{2} f(b) + \frac{(b-a)^2}{2} f(a) \right] = \frac{b-a}{2} \left [ f(a) + f(b) \right ].}\)
Jest to wzór (kwadratura) trapezu.
Podstawiając \(\displaystyle{ a = 0, \ \ b =3, \ \ f(0) = 0^3 =0, \ \ f(3) = 3^3 = 27,}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ T(0, 3, x^3) = \frac{3 - 0}{2}\cdot (0 + 27) = \frac{81}{2} = 40,50.}\)
Jak widzimy ta kwadratura nie nadaje się do aproksymacji wartości całki \(\displaystyle{ I,}\) bo błąd względny przybliżenia wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{| 20,25 - 40,5|}{20,25} \cdot 100\% = 100\%.}\)
Można zwiększyć dokładność obliczenia tej całki - stosując złożoną kwadraturę trapezów, którą wyprowadzamy podobnie, uwzględniając wielomian interpolacyjny Lagrange'a stopnia \(\displaystyle{ n.}\)
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x) dx = h \cdot \left[ \frac{1}{2}f(a) +f(x_{1}) + ...+ f(x_{n-1})+ \frac{1}{2}f(x_{n}) \right] .}\)
Błąd tej kwadratury wynosi:
\(\displaystyle{ \epsilon ( h) =- \frac{(b-a)\cdot h^2}{12}\cdot f^{''}(\xi), \ \ \xi \in (a, b).}\)
W naszym przypadku na przykład dla \(\displaystyle{ n =10}\) węzłów
i programu Maple 6
Kod: Zaznacz cały
> with(student);
> trapezoid( x^3, x =0 . . 3, 10);
>evalf(\%);
> 20,4525
Kwadratura prostokątów
Kwadratura prostokątów należy do najprostszych kwadratur Gaussa-Legendre'a.
Kwadratury Gaussa są to kwadratury oparte na \(\displaystyle{ n+1}\) węzłach, które są pierwiastkami wielomianów ortogonalnych w przedziale \(\displaystyle{ [a, b].}\) z wagą \(\displaystyle{ w.}\)
Nie wchodząc w teorię wielomianów ortogonalnych Legendre'a i teorię tych kwadratur - postać tej kwadratury:
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x) dx = h \sum_{j=1}^{n} f \left ( a + \left (j - \frac{1}{2} \right)\right).}\)
W naszym przypadku dla \(\displaystyle{ h = \frac{3 -0}{3} = 1.}\) ( trzech węzłów)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} x^3 dx = 1\cdot \sum_{j=1}^{3} \left ( 0 + \left(j -\frac{1}{2}\right)\cdot 1\right)^3}\)
Do obliczenia wartości całki wykorzystamy prosty program napisany w Octave 4.2.1
Kod: Zaznacz cały
function c = prostokw( f, a, b, N )
h = (b-a)/N ;
x = ( a + h/2 : h : b)
y = f(x);
c = h*sum(y);
endfunction
prostokw(x^3, 0,3, 3)
>> answ = 19.125
Stąd wynika, że kwadratury Gaussa:
-mają dużo wyższą dokładność od kwadratur Newtona-Cotesa,
- są dokładne dla wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 2n +1}\), podczas gdy kwadratury Newtona-Cotesa są dokładne tylko dla wielomianów stopnia \(\displaystyle{ n.}\)
- możemy ich używać do numerycznego obliczania całek z osobliwościami, z którymi spotykamy się często na przykład w fizyce.
Są jeszcze kwadratury szybciej zbieżne od kwadratur Gaussa, na przykład kwadratury: Romberga, Radau, Lobato, z którymi warto zapoznać się, studiując przedmiot Metody Numeryczne.
Z kwadraturami Romberga , opartymi na ekstrapolacyjnym schemacie Neville'a - Richardsona i błędami wynikającymi z ich stosowania może się Pan zapoznać między innymi w pracy, którą miałem przyjemność napisać z Profesorem Andrzejem Kiełbasińskim na Uniwersytecie Warszawskim w roku 1985.
Andrzej Kiełbasiński, Janusz Chojnacki. Błędy zaokrągleń w algorytmie Romberga. Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego 1985.