Wielomiany oraz metoda na uogólnianie ciągu

Przybliżanie, metoda najmniejszych kwadratów, wielomiany interpolacyjne i inne.
drempi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 2 lip 2013, o 11:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1 raz

Wielomiany oraz metoda na uogólnianie ciągu

Post autor: drempi »

Witam.

Chciałem się podzielić 3 kolejnymi rzeczami dotyczącymi metody, którą opisałem w poprzednim temacie: 423498.htm

1. Jak się okazuje, zachodzi:

\(\displaystyle{ lim_{n o infty} sum_{i = 0}^{n} {left({z + i choose i}^{-1} {n choose i} sum_{k = 0}^{n} left(a_{k + 1} cdot (-1) ^{n + k + i} cdot {n + k + 1 choose n} cdot sum_{g = 0}^{i} left( {n + g choose n} {n - i + g choose k}
ight)
ight)
ight)} = \ \
lim_{n o infty} left(left(prod_{i = 0}^{n} {frac{z - i}{z + i}}
ight) left(sum_{k = 0}^{n}{a_{k + 1} (-1)^{n - k} {n + k + 1 choose n} {n choose k} frac{n + 1 - z}{k + 1 - z} }
ight)
ight)}\)


Co wydaje się być znacznie lepszą i bardziej naturalną formą.

2. Udało mi się udowodnić, że dla danego wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) stopnia \(\displaystyle{ s}\) powyższy limit zbiega dokładnie do \(\displaystyle{ P(z)}\) jeśli tylko \(\displaystyle{ Re z > s - frac{1}{2}}\) . Jako mały dodatek napiszę jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ P(x) = c}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) to stała liczba, to powyższy limit jest zbieżny do \(\displaystyle{ c}\) dla każdego \(\displaystyle{ z}\).

3. Granica nigdy nie jest zbieżna dla \(\displaystyle{ Re z le 0}\) (tak przynajmniej wynika z moich obserwacji), jeślibyśmy jednak chcieli uogólnić wyrazy takie jak: \(\displaystyle{ a_{-1}, a_{-pi}, a_{-sqrt{5}}}\) to zawsze możemy spróbować podstawić \(\displaystyle{ c_{n, k} = a_{n - k}}\) i aby znaleźć wyraz \(\displaystyle{ a_{-z}}\) możemy przybliżać wyraz \(\displaystyle{ c_{n, n + z}}\) dla coraz większego \(\displaystyle{ n}\).

To wszystko czym chciałem się podzielić. Teraz być może spróbuję wykazać zbieżność granicy do wartości \(\displaystyle{ ln(z)}\) jeśli tylko \(\displaystyle{ Re z > 0}\) oraz oczywiście \(\displaystyle{ a_{n} = ln(n)}\)
ODPOWIEDZ